Algèbre

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L'algèbre est la partie des mathématiques étudiant les différents types de nombres et les opérations entre ces nombres. Son but est d’établir des méthodes pour résoudre des équations.

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr (الجبر) et provient du titre du livre Kitab al-jabr wa al-muqabala écrit par Al-Khwarizmi et publié en 825.

Histoire[modifier | modifier le wikicode]

Antiquité[modifier | modifier le wikicode]

Les traces écrites des grandes civilisations antiques (Chine, Égypte des pharaons, Mésopotamie, Grèce) montrent que les savants de ces époques savaient calculer des quantités inconnues à l’aide d’algorithmes. Ces algorithmes correspondent à des équations du premier ou du second degré.

Ils les utilisaient dans des problèmes divers, liés au calcul de salaires, d’impôts, de surfaces et de volumes, ou à la gestion des récoltes ou des chantiers. Par exemple, le Papyrus Rhind (1650 avant J-C) comporte ce problème : « On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, ces trois derniers recevant double part. Que faut-il donner à chacun ? »

Le mathématicien grec Diophante d’Alexandrie (IIIe siècle après J-C) a détaillé et démontré un grand nombre de méthode dans son livre Arithmétiques, sans les lier à des situations concrètes. Il est le premier à utiliser la notion d’inconnue pour représenter la solution recherché.

Moyen-Âge musulman[modifier | modifier le wikicode]

Première page du livre Le calcul par restauration et comparaison

Le livre d'Al-Khwarizmi Le calcul par restauration et comparaison (Kitab al-jabr wa al-muqabala) est le premier traité d'algèbre et donne son nom à la discipline. Il introduit le concept d’équation, les classe en six groupes et montre qu’on peut toujours s’y ramener grâce aux techniques de restauration (ajouter une même quantité des deux côtés de l'égalité) et de comparaison (supprimer une même quantité présente des deux côtés de l'égalité).

Il faut avoir à l'esprit que les mathématiciens arabes n'utilisaient pas nos notations, mais décrivaient leur calcul avec des phrases, et qu'ils n'utilisaient pas les nombres négatifs. Avec les notations modernes, les six types d'équations d'Al-Khwarizmi sont :

Al-Khwarizmi résout ensuite ces six types d’équations en les transformant en situations géométriques et établit des formules donnant les solutions.

L'algèbre s'autonomisera et se développera grandement dans les siècles suivants :

  • Abu Kamil (Xe siècle) utilise des coefficients irrationnels et considère des équations de degré 3
  • Al-Hayttam (Xe siècle) utilise les méthodes grecques et indiennes de calcul de valeur approchée de racines carrées et de racines cubiques pour résoudre des équations
  • Omar Khayyam (XI siècle) utilise les intersections de courbes coniques et de droites pour résoudre des équations de degré 3, qu'il classe aussi en catégories
  • Al-Karaji et Al-Samaw'al (XII siècle) étudient les équations à plusieurs inconnues

La Renaissance[modifier | modifier le wikicode]

Du Xe au XIIIe siècle, les livres arabes sont traduits en latin et les chiffres arabes se diffusent en Europe. Progressivement, les nombres irrationnels et les nombres négatifs sont acceptés comme solutions à des problèmes par les mathématiciens européens.

L’innovation majeure de la Renaissance est l’adoption de symboles pour abréger et simplifier l’écriture des calculs. Les symboles mathématiques inventés par François Viète, Simon Stevin, Raphaël Bombelli, et bien d'autres, permettront d’alléger considérablement les textes mathématiques et de manipuler plus facilement les équations.

La querelle italienne des radicaux[modifier | modifier le wikicode]

Niccolo Tartaglia

Les mathématiciens se lancent dans la quête des formules donnant les formules pour calculer les solutions d’équations (qu’on appelle les radicaux). Au début du XVIe siècle, on ne connaît pas les formules pour les équations du troisième degré (du type ). Scipione del Ferro, professeur à Bologne, est le premier à trouver une formule, en 1505, mais garde sa découverte secrète.

Plus tard, un de ses élèves lance en défi aux autres mathématiciens italiens trente problème portant sur ce type d'équations. Ces défis sont habituels à l’époque pour montrer qu'ils sont dignes des postes qu'ils occupent dans les universités. Mais Niccolo Tartaglia, professeur de mathématiques à Venise, a lui aussi trouvé une formule, et gagne le défi. Girolamo Cardan, professeur à Milan, arrache à Tartaglia sa formule et jure de ne jamais le révéler. Mais il la publie dans son Ars Magna en 1545, en l’étendant à tous les cas, retrouvant le résultat de del Ferro.

Ludovico Ferrari, un élève de Cardan, arrivera a résoudre des équations du 4e degré en les simplifiant en équations du 3e degré. Parallèlement Raphaele Bombelli précise les méthodes de Tartaglia et Cardan et découvre les nombres imaginaires. Après cette période il n'y aura plus de progrès dans la résolution des équations à une inconnue jusqu'au XIXe siècle.

XVIIe et XVIIIe siècles[modifier | modifier le wikicode]

En 1637, René Descartes bouleverse l'algèbre en inventant la géométrie algébrique (alors appelée géométrie analytique). A l'aide de son système de coordonnées cartésiennes, il fait le lien entre équation et courbe et arrive à résoudre des équations en cherchant des intersections de courbes. Il impose aussi l'écriture des puissances de l'inconnue avec la notation en exposant.

L'algèbre linéaire se développe grâce à la géométrie algébrique à partir de 1750, avec l'invention du déterminant par les britanniques Colin MacLaurin et Gabriel Cramer et le français Jean le Rond d'Alembert. Le déterminant permet de savoir si un système d'équations possède ou non des solutions.

Les nombres imaginaires sont apparus en Italie au XVIe siècle et on les retrouve chez Descartes. Mais ils ne sont utilisés que comme étape de calcul et on leur refuse le statut de nombres. Durant le XVIIIe siècle, leur usage se répand et leurs propriétés se découvrent peu à peu, notamment grâce à Leonhard Euler qui fait le lien avec les fonctions trigonométriques. Les travaux de Carl Gauss leur permet de devenir des nombres à part entière : les nombres complexes.

Les recherches sur les nombres complexes poussent les mathématiciens à démontrer ce qu'on appellera par la suite le Théorème fondamental de l'algèbre : « Toute équation à une inconnue de degré possède exactement solutions dans l'ensemble des nombres complexes ». Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange ont cherché à le démontrer, sans succès. Jean Le Rond d'Alembert est le premier à le démontrer en 1746, mais son raisonnement est imparfait. Carl Gauss l'améliorera en 1799.

L’algèbre moderne[modifier | modifier le wikicode]

Dernier feuillet de la lettre testament d'Evariste Galois dans laquelle il expose sa théorie

Durant les XVIIe siècle et XVIIIe siècle, les mathématiciens recherchent sans succès les formules donnant les solutions des équations du cinquième degré et plus. Au début du XIXe siècle, deux génies mettent un coup d'arrêt à cette quête avec une réponse qui sonne comme un coup de tonnerre :

  • Niels Abel montre qu'elles n'existent pas pour le degré 5 en 1821
  • Évariste Galois qu'elles n'existent pour aucun degré plus grand que 5 en 1832.

Ces deux jeunes mathématiciens auront une fin tragique. Leurs travaux seront reconnus après leur mort et fonderont l'algèbre moderne.

A leur suite, les mathématiciens développent différents types de structures de nombres possibles et étudient leur propriétés :

  • entre 1830 et 1880, Joseph Liouville, Ernst Kummer et Felix Klein clarifient la théorie de Galois et étudient les structures de groupe et de corps
  • William Rowan Hamilton construit l'ensemble des quaternions en 1843
  • Hermann Grassmann introduit la structure d'espace vectoriel en 1844
  • les matrices apparaissent en 1858 avec les travaux de Arthur Cayley et James Sylvester
  • Sophus Lie fonde la théorie des groupes de Lie entre 1869 et 1874
  • David Hilbert introduit la structure d'anneau en 1897

Au XXe siècle, les recherche s'orientent vers la question des fondements : il s'agit d'assurer des bases solides et communes à toutes les mathématiques. Dans les années 20, l'américain Emil Artin et l'allemande Emmy Noether clarifient et unifient l'algèbre linéaire et l'algèbre moderne. Dans les années 40-50, le groupe Bourbaki réécrit l'ensemble de l'algèbre à partir de la théorie des ensembles.

A leur suite, entre 1955 et 1983, une longue recherche mobilisant une centaine de mathématiciens vient à bout de la classification des groupes finis (un type d'ensemble particulier). De nos jours, l'étude des structures non commutatives est un domaine très actif dans la recherche mathématique.

Domaines et méthodes[modifier | modifier le wikicode]

Algèbre élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

L'algèbre élémentaire concerne la résolution des équations à une inconnue (ou des inéquations). Elle donne des formules précises dans le cas des équations du premier degré, du second degré, du troisième degré et du quatrième degré. Au-delà, il existe des méthodes, mais elle ne sont pas toujours efficaces. L'algèbre élémentaire est dans les programmes de mathématiques du collège et du lycée.

Elle utilise en particulier les règles du calcul littéral (calcul avec des lettres), comme la factorisation et le développement. Les inconnues (et parfois les paramètres) sont représentées par les lettres de l'alphabet latin (a, b, ...) ou grec (α, β, γ, …).

Par exemple :

Trouver la valeur du nombre vérifiant la relation
Ce problème est appelé une équation d'inconnue .
On sait que l'on a le droit d'ajouter de chaque côté du signe égal (=) le même nombre. En ajoutant 3, on trouve et donc en simplifiant .
Ensuite, on vérifie que 5 convient : on a bien .
La solution de l'équation est donc 5.

Arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

L'arithmétique concerne au départ l'étude des méthodes de résolution des équations faisant intervenir uniquement des nombres entiers.

Article à lire Article à lire : Arithmétique

Géométrie algébrique[modifier | modifier le wikicode]

La géométrie algébrique concerne l'étude des courbes et des surfaces définies par des équations. Elle dérive de la géométrie analytique de René Descartes.

Les points A et B sont les intersections de la droite et du cercle

Par exemple :

Dans le plan, on considère la droite d'équation
On considère aussi le cercle d'équation
La droite et le cercle se croisent en deux points et de coordonnées approximatives A(2,17;4,51) et B(-0,97 ;-4,91)
Ces deux points correspondent aux solutions de l'équation .

Algèbre générale[modifier | modifier le wikicode]

L'algèbre générale, ou algèbre abstraite ou moderne, concerne l'étude des structures des ensembles de nombres. L'algèbre générale possède de nombreuses branches, qui se différencient par le type de structure étudiée. Elle a des connexions avec d'autres branches des mathématiques (analyse, probabilités, théorie des ensembles…).

On peut notamment citer :

  • la théorie des groupes
  • la théorie de Galois
  • la topologie algébrique
  • l'analyse algébrique (voir Alexandre Grothendieck)
  • l'algèbre universelle, qui unifie toutes les branches en prenant pour base la théorie des ensembles (voir Nicolas Bourbaki)

Algèbre linéaire[modifier | modifier le wikicode]

L'algèbre linéaire concerne au départ l'étude des systèmes d'équations, à l'aide notamment des déterminants et des matrices. Elle a progressivement évolué vers l'étude des espaces vectoriels, en lien avec l'algèbre générale.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

L'algèbre peut être utilisé pour résoudre des problèmes de la vie courante. Dans ces problèmes, on recherche une valeur inconnue devant respecter certaines contraintes. Les contraintes sont traduites en équation ou en inéquation.

Les outils de l'algèbre moderne ont été très utiles pour résoudre des problèmes mathématiques complexes. Par exemple, au XIXe siècle cela a permis d'établir des critères pour qu'une figure soit constructible en utilisant uniquement la règle et le compas. En 1994, Andrew Wiles a prouvé le Grand théorème de Fermat à l'aide de la topologie algébrique et de la théorie de Galois.

Dans les autres sciences[modifier | modifier le wikicode]

Les méthodes de résolution d'équations ou de systèmes d'équations sont utilisées dans les sciences pour résoudre des problèmes, comme en physique, en biologie ou en économie.

L'algèbre linéaire est un outil important dans des domaines faisant intervenir beaucoup de paramètres, comme dans les sciences de l'ingénieur. Par exemple, en économie, on utilise des espaces vectoriels à huit dimensions pour représenter l'évolution du produit intérieur brut de huit pays.

La théorie des groupes est une des branches de l'algèbre qui a le plus d'applications dans les autres sciences. On peut citer :

  • la cryptographie : les symboles du message chiffré font partie d'une structure de groupe (par exemple, les groupes multiplicatifs modulo n du chiffrement RSA)
  • la chimie : dans un cristal, les atomes ne peuvent occuper que certaines positions, que l'on peut réunir en un ensemble ayant une structure de groupe
  • la science des matériaux : une molécule possède des axes et des centres de symétrie, que l'on peut réunir en un ensemble ayant une structure de groupe ; on peut alors prédire le type de déformation que va pouvoir subir le matériau
  • l'ethnologie : Claude Lévi-Strauss utilise la notion de groupe pour décrire les structures de parenté dans les sociétés tribales ou l'évolution des récits mythiques
  • la physique théorique : les particules élémentaires constituant la matière forment un groupe, ce qui permet de prédire les particules à découvrir et leurs propriétés, comme cela a été le cas pour le boson de Higgs en 2012

Références[modifier | modifier le wikicode]

Livres importants de la discipline[modifier | modifier le wikicode]

  • Arithmétiques, Diophante, IIIe siècle après J-C
  • Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, Al-Khwârizmi, 825
  • Démonstrations de problèmes d'algèbre, Omar Khayyam, 1070
  • Ars Magna, Girolamo Cardano, 1554
  • Géométrie, René Descartes, 1637
  • Mémoire sur la résolution des équations, Alexandre-Théophile Vandermonde, 1771
  • Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Joseph-Louis Lagrange, 1770
  • Disquisitiones arithmeticae, Carl Friedrich Gauss, 1801
  • Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, Niels Henrik Abel, 1824
  • Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, Évariste Galois, texte manuscrit de 1830 (publié en 1846 avec commentaires de Joseph Liouville)
  • Die lineale Ausdehnungslehre, Hermann Grassmann, 1844
  • Traité des substitutions et des équations algébriques, Camille Jordan, 1870
  • Sur la théorie des nombres entiers algébriques, Richard Dedekind, 1871
  • Galois Theory, Emil Artin et Arthur Milgram, 1942
  • Algèbre, Nicolas Bourbaki, 1970

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

  • La philosophie de l'algèbre, Jules Vuillemin, PUF, 1993
  • Abrégé d'histoire des mathématiques, Jean Dieudonné, Hermann, 1978
  • Théorie des corps - La règle et le compas, Jean-Claude Carrega, Hermann, 2001
  • Éléments d'histoire des mathématiques, Nicolas Bourbaki, Springer, 2006
  • D'Al Khwarizmi à Descartes, Étude sur l'histoire des mathématiques classiques, Roshdi Rashed, Hermann, 2011
  • Toutes les mathématiques du monde, Hervé Lehning, Flammarion, 2017

Liens internes[modifier | modifier le wikicode]

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

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