Nombre

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Un nombre permet de déterminer une quantité ou une grandeur, en comptant ou en mesurant, ou avec d'autres opérations. On écrit un nombre avec un ou plusieurs signes appelés chiffres.

Les nombres ne se limitent pas aux nombres entiers, les mathématiques on inventé d'autres sortes de nombres, devenus nécessaires pour faire les calculs qu'on ne pouvait pas faire autrement.

Nombres et ensembles[modifier | modifier le wikicode]

la multiplication de trois nombres
  • Les bébés et très jeunes enfants qui ne connaissent pas les nombres semblent reconnaître quand même les quantités 1, 2 et 3. Au-dessus de 3, il y a, beaucoup, très beaucoup, … sans utiliser de nombre, on ne peut pas dire exactement combien.
  • Les premiers nombres inventés sont ceux qui peuvent servir à compter n'importe quelle quantité d'objets ou de personnes. On les appelle des nombres entiers naturels ;
  • Ensuite, on a utilisé des nombres qui permettent de dire une quantité qui est une partie d'une chose, (donc pas forcément une ou plusieurs choses entières) comme la moitié, le tiers, les trois quarts ou bien aussi trois moitiés. Ce sont les nombres rationnels positifs ; ce qui veut dire qu'ils peuvent s'écrire sous forme de fractions, ce qui permet de dire n'importe quelle quantité qui vient d'un partage, comme 3/26, qui veut dire 3 parts de quelque-chose qu'on divise (ou qu'on imagine de diviser) en 26 part égales.
  • On a ensuite imaginé des nombres négatifs ; regroupés avec les nombres entiers naturels (donc positifs), ils forment l'ensemble des nombres entiers ;
  • De la même façon, les nombres rationnels peuvent être positifs ou négatifs. Cela peut servir pour donner une date, s'il y a une année qui est choisie comme la première, et qu'on veut parler des années d'avant. Cela sert aussi pour des altitudes, puisque le niveau de la mer est choisi comme d'altitude 0, pour parler de ce qui est plus bas (fond de la mer, par exemple)
  • En utilisant la virgule dans le système décimal, on peut écrire des nombres décimaux, qui font partie des nombres rationnels, et permettent de faciliter certains calculs et comparaisons
  • Il est apparu que certains nombres comme pi devraient être écrits avec un nombre infini de chiffres après la virgule, et ne peuvent pas s'écrire non plus sous forme de fraction. On les appelle les nombres irrationnels, et avec tous les nombres précédents, ils forment l'ensemble des nombres réels.
  • Ensuite, des mathématiciens ont eu besoin d'imaginer une sorte supplémentaire de nombres, les nombres complexes.


Récapitulons :

Il existe en mathématiques plusieurs ensembles de nombres. Ce sont en fait des catégories dans lesquelles les mathématiciens classent les nombres.

Ce sont :

  • l'ensemble des entiers naturels (symbolisé par la lettre ℕ) : 0,1,2,3,4, ...
  • l'ensemble des entiers relatifs (symbolisé par la lettre ℤ) : -2,-1,0,1,2, ...
  • l'ensemble des nombres décimaux (symbolisé par la lettre ) : -1.5, 23, 558.4456632, ...
  • l'ensemble des nombres rationnels (tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers ; symbolisé par la lettre ℚ) : 1/3, 2, 78.9, 2.63888888888888888... (=95/36), ...
  • l'ensemble des nombres réels (symbolisé par la lettre ℝ) : tous les nombres qui peuvent, par exemple, désigner une longueur : 1/3, √2, π (« pi »), 2, ...

En plus de ceux-ci, on a inventé l'ensemble des nombres complexes (symbolisé par la lettre ℂ) : i

Le savais-tu.png
Le savais-tu ?
Inclusions
L'inclusion est une propriété mathématique qui permet de dire que tous les éléments d'un ensemble sont dans un ensemble plus vaste. L'inclusion se note ⊂.

Pour les nombres on a : ℕ⊂ℤ⊂⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

Ce qui veut dire que les nombres entiers naturels sont tous aussi des nombres entiers relatifs, qui eux-mêmes sont tous des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels qui font partie des nombres complexes.

Mais si on le dit dans l'autre sens, cela n'est pas vrai, comme de dire cette feuille est dans mon classeur ne veut pas dire mon classeur est dans cette feuille.

Particularités[modifier | modifier le wikicode]

Il y a une infinité de nombres, dans le positif (au-dessus de zéro) comme dans le négatif (en-dessous de zéro), ce qui signifie que pour un nombre donné, on pourra toujours en trouver un autre qui soit plus grand et un autre plus petit.

Nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]

Article à lire Article à lire : Nombre premier

Parmi ces nombres, plusieurs ont des particularités, comme les nombres premiers.

Un nombre premier est un nombre que l'on ne peut diviser que par lui-même et par 1 pour avoir comme résultat un nombre entier. Par exemple, 11, qui est un nombre premier, ne peut se diviser que par 11 (ce qui donne 1) ou 1 (ce qui donne 11), car sinon, on n'obtient que des résultats « à virgule » :

  • 11 / 2 = 5,5 (appartient à ) ;
  • 11 / 3 = 3,666666666... (à ℚ) :
  • 11 / 4 = 2,75 (à D) ;
  • 11 / 5 = 2,2 (à D) ;

etc.

On voit bien qu'aucun des résultats obtenus n'appartient à l'ensemble des entiers (ℕ ou ℤ).

Nombres Univers[modifier | modifier le wikicode]

Un nombre Univers est un nombre irrationnel (qui a une infinité de chiffres après la virgule) dans lequel on peut retrouver n'importe quelle suite de nombres (finie). Par exemple, quelle que soit votre date d'anniversaire, ou le nombre de virus de la grippe dans le monde, vous pourrez toujours retrouver ce nombre dans un nombre Univers.

Les mathématiciens n'ont pas encore prouvé que π (« pi »), qui possède un nombre infini de décimales, est un nombre Univers, ce qui montrerait la chose suivante :

  • un nombre Univers a toujours un nombre infini de décimales
  • mais un nombre qui possède une infinité de décimales n'est pas forcément un nombre Univers

Le nombre d'or[modifier | modifier le wikicode]

Article à lire Article à lire : Nombre d'or

Les architectes grecs de l'Antiquité croyaient que certains nombres avaient des propriétés presque « magiques » : par exemple, ils utilisaient très souvent le nombre d'or dans leurs constructions, car ils pensaient que ce nombre rendait beau toute chose qui en avait les dimensions. On retrouve dans ce cas le Parthénon, temple grec de l'Acropole d'Athènes, dont la base a les dimensions d'un rectangle d'or.

Mais qu'est-ce que ce nombre d'or ? Il est noté φ (« phi », se prononce fi) et sa valeur est : (1+√5) /2, ce qui est proche de 1,618034.

Racine carrée de deux[modifier | modifier le wikicode]

La racine carrée de deux, notée √2, est un nombre remarquable en mathématiques qui vaut environ 1,4142... √2 est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2.

Le nombre se retrouve souvent dans la vie courante. Par exemple :

  • Si un carré a des côtés de longueur 1, sa diagonale a une longueur de √2.
  • Les feuilles de papier européennes au format standard (dont le plus courant est le format A4) ont des dimensions où la longueur est égale à la largeur multipliée par √2 (par exemple 21 cm et 21 x √2 = 29,7 cm). C'est le seul nombre qui utilisé comme cela (relation de proportionnalité : si on coupe une feuille dans la largeur en deux parties égales, les feuilles obtenues ont les mêmes proportions, donc la même forme en plus petit).

√2 est un nombre réel, mais ce n'est pas un nombre rationnel, donc c'est un nombre irrationnel.

Nombres parfaits[modifier | modifier le wikicode]

Un nombre parfait est un nombre qui est égal à la somme de ses diviseurs sauf lui-même. Par exemple 6 est le plus petit nombre parfait parce que 1+2+3 (les diviseurs de 6) est égal à 6. Tous les nombres parfaits connus sont pairs et se terminent par un 6 ou un 8 (il pourrait peut-être il y en avoir des impairs, mais ils seraient vraiment très grands, et on n'est même pas sûr qu'ils existent). Ces nombres sont rares, et deviennent rapidement très espacés les un des autres : pour donner une idée, les huit premiers nombres parfaits sont 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056 (plus de 8,5 milliards), 137 438 691 328 et 2 305 843 008 139 952 128 (plus de 2,3 millions de milliards).

Notation[modifier | modifier le wikicode]

Il existe des façons spéciales de noter et de dire les nombres très grands, comme la notation scientifique ; voir aussi l'article sur la lecture des grands nombres.

Attention ![modifier | modifier le wikicode]

Attention, un nombre n'est pas la même chose qu'un chiffre. Un nombre est deux ou plusieurs chiffres ensemble.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Par exemple : 64 sont les deux chiffres 6 et 4. Ou même 298 sont les chiffres 2, 9 et 8

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