Système d'équations

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Un système d'équations est un ensemble d'équations relative à un même problème où il y a plusieurs inconnues. Il existe deux méthode pour résoudre un système d'q

Par exemple, trouver un horaire de rencontre commun entre plusieurs amis consiste en fait à résoudre un système d’inéquations ! Les horaires de passage des trains, eux, sont établis par des supercalculateurs qui tentent de résoudre numériquement d’énormes systèmes d’équations à de très nombreuses inconnues ; l’enjeu est très important, puisqu’une erreur de calcul pourrait entraîner un accident de train…

Méthode générale[modifier | modifier le wikicode]

Substitutions[modifier | modifier le wikicode]

La méthode dite de substitutions consiste à calculer une inconnue en utilisant les informations donné par une des équation. Par exemple on a:

et On peut donc trouver x car on nous donne la valeur de y dans la deuxième équations:

On remplace donc le y de la première équation par ce qui nous donne:

Il ne reste plus qu'a résoudre l'équation:

On ajoute 4 à 10:

On met sous forme de fraction:

On simplifie:

On remplace alors x par 2 dans la deuxième équation on a donc:

Il ne reste plus qu'a résoudre l'équation:

On soustraie alors 6 à 4:

On met sous forme de fraction:

On simplifie:

Il ne reste plus qu'a vérifié les équations.

Pour la première:

Pour la deuxième:

Combinaisons[modifier | modifier le wikicode]

L’autre méthode « habituelle » est la résolution par combinaison qui consiste à obtenir par exemple le même nombre de x ou de y dans toutes les équations du système. Reprenons nos deux équations: et

On remarque que si l'on multiple la deuxième équation par deux on obtient le même nombre de y dans les deux équations:

On fait "disparaître les y:

Ce qui donne:

On met sous forme de fraction:

On remplace x par 2 dans l'équation n°1 et on résout la première équation comme avec l'autre méthode.

Système à équations[modifier | modifier le wikicode]

On parle d’un système à équations pour dire que l’on se moque du nombre d’équations, qui peut valoir 1, 2, 3, etc. : ce que l’on dit à propos est valable quelle que soit la valeur de n.

Règle de Cramer[modifier | modifier le wikicode]

Il existe des méthodes algébriques bien plus rapides pour résoudre des systèmes de n’importe quelle taille ; par exemple, la règle de Cramer, qui permet de résoudre des systèmes d’équations à deux ou trois inconnues si facilement qu’on peut le faire de tête.

Lumière ! Cette règle repose sur des notions de mathématiques enseignées au-delà du niveau du bac (matrices), aussi ne sont-elles pas développées ici ; la méthode peut cependant toujours être utile, pour vérifier un calcul par exemple.

Il existe des méthodes au moins aussi rapides qui fonctionnent avec n’importe quel système de n équations à n inconnues, comme celle du « pivot de Gauss » (dont celle de Cramer est un cas particulier). Les ordinateurs utilisent le pivot de Gauss ou l’algorithme de Strassen pour résoudre des systèmes comportant des milliers d’équations !

Système d'inéquations[modifier | modifier le wikicode]

Il est possible d'associer des inéquations reliant plusieurs variables ; la plupart du temps, cela délimite des portions du plan (tandis que les systèmes d'égalité délimitent généralement des points). La résolution du système utilise les mêmes techniques que pour les systèmes d'équations.

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