Recherche en mathématiques

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Les mathématiques ne sont pas seulement une liste de résultats transmis et enseignés à l'école. Il existe une recherche en mathématiques de plus en plus poussée et complexe. Elle répond en partie aux besoins croissants des autres sciences, mais aussi à une volonté et une dynamique interne. Comment cette science particulière s'organise-t-elle ? Qui en sont les acteurs ?

Un mathématicien

En pratique[modifier | modifier le wikicode]

Les mathématiciens, acteurs de la recherche[modifier | modifier le wikicode]

Le mathématicien est une personne qui consacre une partie de sa vie à la recherche en mathématiques. Cette définition est sujette à discussions : certains professionnels appliquent les mathématiques sans s'impliquer eux-mêmes dans la recherche (comme les ingénieurs). Les mathématiciens sont en général spécialisés dans un domaine et travaillent plusieurs années longtemps sur une question très précise.

La plupart des mathématiciens sont aujourd'hui employés dans des universités ou dans des centres de recherche, et parfois employés dans des entreprises privées. Il n'existe aucune statistique exacte sur le nombre de mathématiciens dans le monde. On estime aujourd'hui qu'il y a environ quelques centaines de milliers de mathématiciens. Le nombre a été multiplié environ par cent en un siècle.

Les grandes puissances mathématiques actuelles sont les États-Unis et le Canada en Amérique du Nord, la France et l'Allemagne dans l'Union Européenne (mais pas seulement), la Russie, l'Inde, la Chine et le Japon en Asie. Il n'est pas étonnant que les grandes puissances scientifiques soient aussi de grandes puissances économiques. En effet, la recherche demande aujourd'hui un fort financement des États.

Les mathématiques peuvent se nourrir des besoins des autres sciences, de l’industrie ou de l’ingénierie. On parle alors de mathématiques appliquées, en opposition avec les mathématiques pures. Par exemple, la physique mathématique développe les outils mathématiques nécessaires à la physique et la bioinformatique croise les mathématiques et l’informatique pour le traitement des données et les simulations en biologie. En France, cette division a beaucoup d’influence dans la constitution des équipes de recherche mais est remise en cause pour son côté artificiel.

Méthodes de recherche[modifier | modifier le wikicode]

La recherche en mathématiques n'est pas la preuve mécanique de théorèmes. Cette science se développe par une réflexion sur elle-même, des apports extérieurs, et des convergences.

Si une nouvelle affirmation est énoncée, les mathématiciens commencent par regarder des exemples. Certains exemples permettent de tester facilement des résultats, avant de s'attaquer à une éventuelle preuve. Si une affirmation ne s'applique pas à certains exemples, les mathématiciens peuvent vouloir modifier les hypothèses. Cette « confrontation aux exemples » intervient face à de nouvelles conjectures.

Parfois, des domaines éloignés sont réétudiés et rapprochés. Une analogie peut par exemple permettre de faire avancer la recherche : des méthodes utilisées dans un domaine sont transférées dans un autre pour résoudre des problèmes. Ce transfert peut faire naître une nouvelle approche de concepts déjà connus, et relancer le débat autour de problèmes qui avaient été délaissés. C'est souvent à la frontière de plusieurs domaines des mathématiques que les plus belles avancées ont été réalisées. C’est une des raisons qui poussent les laboratoires de recherche en mathématiques à travailler de plus en plus en réseau.

Problèmes ouverts[modifier | modifier le wikicode]

En mathématiques, il existe énormément de questions dont les réponses sont inconnues. Aucun mathématicien ne connaît toutes les questions posées (et encore moins toutes les connaissances mathématiques écrites). Une question sans réponse est appelée question ouverte. Parfois un groupe de mathématiciens peut avancer une réponse, mais ils n'ont aucune démonstration. On parle de conjectures. Ce sont les moteurs de la recherche mathématique.

Certaines questions sont récentes. Elles ont été posées car beaucoup de mathématiciens s'intéressent actuellement aux objets concernés. Elles peuvent être résolues assez rapidement, par exemple en une décennie. Parfois, c'est plus difficile et la résolution demande d'emprunter le chemin des écoliers. Certains problèmes ont survécu à des générations de mathématiciens et sont très anciennes. C’est le cas du Grand théorème de Fermat’’ conjecturé vers 1620 et démontré en 1994.

Andrew Wiles qui a démontré le Grand théorème de Fermat en 1994

Exemples de problèmes ouverts[modifier | modifier le wikicode]

  • Conjecture de Goldbach : « Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers »
  • Conjecture de Syracuse : « La suite de Syracuse de n’importe quel nombre entier strictement positif finit par atteindre la boucle 4-2-1 »
  • Conjecture des nombres premiers jumeaux : « Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier »
  • Conjecture du coureur solitaire : « Pour k coureurs sur une piste circulaire de longueur 1, partant tous de la même position au temps t = 0 et courant à des vitesses toutes différentes, chaque coureur sera un coureur solitaire1 à un moment donné de la course »
  • Problème de Brocard : résoudre l’équation n ! + 1 = m² avec n et m des entiers naturels

Certains problèmes ont même été mis à prix ! Ainsi en 2000, l'Institut Clay de mathématiques a promis la récompense d'un million de dollars pour qui résoudrait un des 7 problèmes du millénaire. Pour l’instant un seul de ces problèmes a été résolu, la Conjecture de Poincaré en 2003 par le russe Grigori Perelman qui a refusé le prix.

Institutions[modifier | modifier le wikicode]

Centres internationaux de recherche[modifier | modifier le wikicode]

Depuis le début du XXe siècle, tous les quatre ans (sauf exceptions dues aux guerres mondiales) se tient un congrès international.

Bâtiment principal de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques
  • Institut Henri-Poincaré, fondé en 1928 à Paris (France)
  • Institut des hautes études scientifiques, fondé en 1958 à Bures-sur-Yvette (France)
  • Centre International de Rencontres Mathématiques, fondé en 1981 à Marseille (France)
  • Institut Santa Fe, fondé en 1984 à Santa Fe (Etats-Unis)
  • Institut Isaac Newton, fondé en 1992 à Cambridge (Royaume-Uni)
  • Institut Max Planc, fondé en 1996 à Leipzig (Allemagne)
  • Institut Clay pour les mathématiques, fondé en 1998 à Providence (Etats-Unis)
  • African Institute for Mathematical Sciences, fondé en 2003 à Muizenberg (Afrique du Sud)

Récompenses[modifier | modifier le wikicode]

Il n’existe pas de prix Nobel de mathématiques. Certains disent que c’est par jalousie d’Alfred Nobel, mais il est plus probable que c’est à cause du peu d’applications directes que la recherche en mathématiques occasionne. On peut citer :

  • la médaille Fields
  • Prix Salem, remis depuis 1968 en analyse
  • Prix Wolf de mathématiques, remis depuis 1978 à deux mathématiciens
  • Prix Loève, remis tous les deux ans depuis 1993 pour les probabilités
  • Prix Carl-Friedrich-Gauss, remis depuis 2006 pour les mathématiques appliquées
  • Prix Abel, remis depuis 2003 par l’Académie des sciences et des lettres de Norvège à un mathématicien pour l’ensemble de son œuvre


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  1. On dit qu’un coureur est solitaire s’il est à une distance d’au moins 1/k de tous les autres coureurs