Développement (mathématiques)

Dans un calcul, le développement est une opération qui consiste à transformer un produit en somme. C'est le contraire de la factorisation. Le développement sert à donner une forme réduite d'une expression. Exemple :

${\begin{aligned}3\times (5+x)&=3\times 5+3x\\&=15+3x\end{aligned}}$

Dans cet exemple, on a développé le produit $3(5+x)$, qui se lit "trois facteur de cinq plus $x$".
Remarque : le signe $\times$ dans un produit incluant parenthèses ou lettres peut être omis ou remplacé par un point. Ainsi, on peut écrire indifféremment $3(5+x)$, $3.(5+x)$ ou $3\times (5+x)$. Attention : ne pas écrire $3\;5$ ou $3.5$ pour $3\times 5$ !

Règles de distributivité

Dans un développement, il faut toujours respecter les règles de distributivité de la multiplication sur l'addition. Chaque terme du premier facteur doit multiplier chaque terme du deuxième facteur :

Distributivité :

$a\times (b+c)=ab+ac$
Ici, a multiplie b, puis a multiplie c.

Double distributivité :

$(a+b)\times (c+d)=ac+ad+bc+db$
Ici, a multiplie c et d, puis b multiplie c et d.

Triple distributivité...

$(a+b+c)\times (d+e+f)=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf$

Astuce

S'il y a plus que deux facteurs, il est possible de développer d'abord les deux premiers, puis les suivants pour limiter les erreurs. Exemple :

${\begin{aligned}(a+3)\times (a+b+c)\times (5-b)&=((a+3)\times (a+b+c))\times (5-b)\\&=(a^{2}+ab+ac+3a+3b+3c)\times (5-b)\\&=5a^{2}+5ab+5ac+15a+15b+15c-a^{2}b-ab^{2}-abc-3ab-3b^{2}-3bc\end{aligned}}$

On développe d'abord le produit $(a+3)(a+b+c)$, puis ou multiplie son développement $a^{2}+ab+ac+3a+3b+3c$ par le dernier facteur. Cette dernière expression est loin d'être lisible et élégante. Il ne faut utiliser le développement que pour rendre l'expression de départ plus simple, ce qui n'est pas le cas ici.

Identités remarquables

Les identités remarquables, résultat du développement de deux facteurs, sont à savoir reconnaître dans les deux sens :

${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=a^{2}+2ab+b^{2}\\(a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\(a+b)\times (a-b)&=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}$

Attention : il ne faut surtout pas écrire que $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ ! Ceci n'est vrai que si $a$ ou $b$ est nul.

Exemple : Si l'on souhaite résoudre l'équation dont la forme développée est $x^{2}-10x+25=0$, il faut tout de suite reconnaitre l'identité remarquable n°2 et effectuer une factorisation pour obtenir l'équation équivalente $(x-5)^{2}=0$. On couclut que la seule valeur possible pour satisfaire l'équation est $x=5$ (voir produit de facteurs nuls).

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