Puissance (mathématiques)

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Voir l’article homonyme Pour l’article homonyme, voir : Puissance (physique).

La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois selon l'exposant.

Exemples :
  • 22 = 2 × 2 = 4
  • 23 = 2 × 2 × 2 = 8

Il ne faut pas confondre avec la multiplication :

  • 23 = 2 × 2 × 2 = 8
  • 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6

Lecture d'une puissance[modifier | modifier le wikicode]

Cas général : an se lit « a exposant n » ou « a à la puissance n ». Les deux termes sont équivalents. Par exemple, 68 se lit « six exposant huit » ou « six à la puissance huit ». Dans l'autre sens, on dit également que 68 est une puissance de 6.

  • Une puissance avec un exposant égal à deux peut aussi se dire « au carré » : 72 se lit « sept au carré ».
  • Une puissance avec un exposant égal à trois peut aussi se dire « au cube » : 73 se lit « sept au cube ».

Les puissances de 10[modifier | modifier le wikicode]

Les puissances de 10 sont des cas particuliers. Ils permettent d'écrire des grands nombres.

102= 10 × 10 = 100 (deux zéros après 1)
103= 10 × 10 × 10 = 1 000 (trois zéros)
104= 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 (quatre zéros)

On remarque que le nombre de zéros présents dans la puissance correspond à l'exposant. Ceci est bien pratique pour représenter un nombre. Ainsi, un million (1 000 000) peut s'écrire 106.

Ceci ne marche que pour les puissances de 10.

On peut s'en servir pour écrire des nombres qui ne sont pas des multiples de 10 comme ceci :

5 000 = 5 × 1 000 = 5 × 103.

Certaines calculatrices affichent ce chiffre sous la forme « 5E+3 » ou « 5e+3 », c'est une abréviation de 5 fois 10 exposant 3, qui vaut 5 000.

C'est à ne pas confondre avec 53, que les calculatrices affichent 5^3 et qui vaut 5 × 5 × 5 = 125.

Voir aussi Lecture des grands nombres.

Les exposants négatifs[modifier | modifier le wikicode]

Les exposants négatifs permettent eux d'écrire des nombres très petits (entre 0 et 1), notamment lorsqu'il s'agit de puissances de 10.

On écrit :

0,1 = 10-1
0,01 = 10-2
0,001 = 10-3 et ainsi de suite.

Écriture scientifique[modifier | modifier le wikicode]

On appelle notation scientifique, la notation de la forme a × 10na est un nombre décimal avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.

Exemples :

  • 4,23 × 102 ;
  • 2,01 × 104.

Ainsi, le nombre 79 800 peut s’écrire :

  • en puissance entière : 798 × 102 ;
  • en écriture scientifique : 7,98 × 104.
Pour en savoir plus Pour en savoir plus, lire l’article : Notation scientifique.

Opérations avec les puissances[modifier | modifier le wikicode]

Comment manipuler des nombres élevés à une certaine puissance ? Plus concrètement, combien vaut, par exemple, 136 × 137 ?

  • est-ce que c’est 136 + 7 = 1313 (= 302 875 106 592 253) ?
  • ou bien 136 × 7 = 1342 (= 61 040 881 526 285 814 362 156 628 321 386 486 455 989 674 569) ?
  • ou encore autre chose ?

Lumière ! Il existe une règle qui permet de trouver la réponse : il faut transformer la multiplication en addition (et donc la division en soustraction) ! Ainsi, si on note a, b et z trois nombres :

  1. za × zb = za + b : la multiplication (entre les deux z) devient une addition (entre a et b).
  2. Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): {\frac {z^{a}}{z^{b}}} = za b : la division (entre les deux z) devient une soustraction (entre a et b).

Attention Ici, la base (z) est la même pour les deux nombres que l’on cherche à « réunir ». On ne peut pas manipuler aussi facilement des nombres dont c’est seulement la puissance qui est identique : cela ne marche que pour ceux dont la base est identique ! Ainsi, on peut appliquer notre règle de calcul à 136 × 137 (même base : 13), mais pas à 136 × 116 (même puissance : 6, mais pas la même base : 13 ≠ 11) !

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]


Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.