Construction à la règle et au compas

« Construction à la règle et au compas » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
Aller à : navigation, rechercher

La possibilité de construire certaines figures en utilisant uniquement la règle et au compas est un problème géométrique datant de l'Antiquité. L'algèbre moderne a permis de déterminer des critères permettant ces constructions.

Polygones réguliers[modifier | modifier le wikicode]

La construction des polygones réguliers à la règle et au compas est un problème ancien. Euclide détaille dans Les éléments les méthodes pour construire les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.

Au XVIIIe siècle, Carl Friedrich Gauss utilise des outils de la théorie de Galois1 pour détailler la construction de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés. En 1837, Pierre-Laurent Wentzel prolonge ces travaux et donne le critère pour qu'un polygone régulier soit constructible.

Théorème de Gauss-Wentzel : un polygone régulier possédant côtés est constructible à la règle et au compas uniquement si est une puissance de , si est un nombre de Fermat (de la forme ) ou si est un produit de ces deux types d'écriture.

Par conséquent, les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… sont constructibles à la règle et au compas et les polygones à 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ne sont pas constructibles à la règle et au compas .

Les 3 problèmes Antiques[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'Antiquité, trois problèmes de construction à la règle et au compas préoccupaient les Grecs :

  • la duplication du cube : construire un cube deux fois plus grand en volume qu'un cube donné, à la règle et au compas2
  • la trisection de l'angle : diviser un angle donné en trois angles égaux, à la règle et au compas
  • la quadrature du cercle : construire un carré de la même surface qu'un cercle donné3

Les travaux de Wentzel de 1837 montreront que les deux premiers sont impossibles. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann montre que π est un nombre transcendant, ce qui entraîne que les troisième problème est aussi impossible à cause des règles de l'algèbre.

Références[modifier | modifier le wikicode]

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

  • Constructibilité de polygones réguliers :[1]
  • Construction de polygones réguliers :[2]
  • Maths-et-tiques : [3]
  • Chronomaths : [4]

Liens internes[modifier | modifier le wikicode]

  • Algèbre
  • Géométrie
  • Histoire des mathématiques

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. La théorie de Galois ne sera formalisée que 60 ans plus tard, ce qui montre que Gauss était en avance sur son temps.
  2. Ce problème revient à multiplier le côté du cube par la racine cubique de 2.
  3. cela revient à tracer un carré dont le côté vaut π fois le rayon du cercle
Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.