Histoire des mathématiques

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L'histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe, de la Chine à l'Amérique centrale. Jusqu'au XVIIe siècle, le développement des connaissances mathématiques s'effectue essentiellement de façon cloisonnée dans diverses régions du monde. À partir du XIXe siècle et surtout au XXe siècle foisonnent des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.

Préhistoire[modifier | modifier le wikicode]

Les mathématiques préhistoriques sont mal connues, puisque l'activité mathématique est essentiellement intellectuelle et ne laisse pas de traces archéologiques. Par exemple, on peut imaginer que l'Homme a très tôt su compter sur ses doigts, mais rien ne permet de le prouver.

De plus, les quelques traces qui nous sont parvenues sont souvent interprétables de plusieurs manières. Par exemple une série d'encoches de 13 traits dans la pierre est-elle : un processus de comptage ? le signe de la connaissance des nombres premiers ? un calendrier ? ou une expression artistique dénuée de tout lien avec les nombres ?

En ce début de XXIe siècle, le développement de l'ethnomathématique et de la pédopsychologie éclairent un peu cette période, mais les résultats sont souvent soumis à controverse1

L'os d'Ishango (datant de plus de 20 000 av. J.-C.) est généralement cité comme la première preuve de la connaissance des nombres entiers et de la multiplication, mais les interprétations qui en sont faites sont contestées.

Grandes civilisations antiques[modifier | modifier le wikicode]

Le développement de l'activité mathématique est liée à celui de l'écriture, et donc à l'apparition des grandes civilisations. Les civilisations qui suivent sont à la source des mathématiques occidentales.

Mésopotamie[modifier | modifier le wikicode]

La première forme d'écriture est apparue vers -3000 av JC en Mésopotamie. C'est l'écriture cunéiforme : elle s'appelle ainsi parce qu'elle utilise deux symboles, des « flèches » et des « couteaux ».

Des combinaisons de ces symboles peuvent servir aussi bien à écrire des mots que des nombres. Les nombres entiers étaient écrits dans un système de numération en base 60 non positionnel. En particulier, les entiers 1, 60 et 60*60 = 3600 s'écrivaient de la même manière.

Article à lire Article à lire : Calcul mésopotamien
Tablette provenant d'Uruk (vers 3200-3000 av. J.-C.) enregistrant des distributions de bière, British Museum

Les tablettes (environ 400 connues) datant de cette période (-2000 à -1600) servaient à la comptabilité, aux conversions de mesures, aux impôts, de modes d'emploi et à l'apprentissage des scribes. On y rencontre des calculs sur les entiers et les fractions et des problèmes se résolvant par des algorithmes (ils pouvaient résoudre des équations du premier et du deuxième degré).

Les méthodes de calcul des babyloniens sont astucieuses et leur élaboration a dû demander une réflexion. Malheureusement, on ne peut pas savoir avec certitude s'ils les comprenaient véritablement. Aucune démonstration n'est en effet donnée (cela ne leur semblait peut-être pas nécessaire). En revanche, on est sûr que les Babyloniens savaient compter, additionner et multiplier des nombres entiers bien avant de savoir écrire.

Concernant la géométrie, il est plausible que les Babyloniens savaient calculer le périmètre du cercle, l'aire du disque et le volume d'un cylindre (en prenant 3 pour valeur approchée de π) et qu'ils connaissaient le théorème de Pythagore en tant que formule (aucune démonstration n'a été retrouvée). On sait qu'ils n'avaient pas la notion d'angle, mais il connaissaient l'égalité des rapports entre les côtés de triangles semblables, ce qui constitue les prémisses du théorème de Thalès et de la trigonométrie.

Ces connaissances étaient utiles aux astronomes pour établir des calendriers et des horoscopes. Elles ont été transmises aux Grecs via les Chaldéens après le IVe siècle et les conquêtes d'Alexandre le Grand : Hipparque de Nicée et Ptolémée les ont utilisées et améliorées. Les savants grecs ont utilisé le système sexagésimal, qui dure encore de nos jours dans les mesures de temps (1 min = 60 secondes et 1 h = 60 min) et dans les mesures d'angles (1° = 60' et 1 ' = 60)

Egypte Antique[modifier | modifier le wikicode]

Détail de la première partie du papyrus Rhind, British Museum

Les mathématiques égyptiennes se sont développées à partir de -1800. Elles étaient basées sur un système décimal, où il existait un symbole pour 1, un symbole pour 10, un symbole pour 100… Toutes les opérations étaient ramenées à des additions et pour des valeurs inférieures à 1, il y avait des fractions unitaires simples (1/2, 1/3, 1/4,…).

Article à lire Article à lire : Numération égyptienne

Les sources qui nous sont parvenues sont les inscriptions sur les temples (les plus anciennes car mieux conservées) et des papyrus (tous postérieurs aux pyramides). Les papyrus les plus connus sont le Papyrus Rhind (vers -1650) et le Papyrus de Moscou (vers -1850) ; ils décrivent des problèmes et leur solution et étaient probablement des « manuels scolaires » pour les scribes.

Les égyptiens utilisaient des mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, le calcul de surface et de volume pour la gestion des terrains agricoles et l'organisation des chantiers d'irrigation et de construction.

On sait qu'ils savaient résoudre des problèmes avec des algorithmes simples (problème du 1er et du 2nd degré), utiliser des coordonnées et calculer des surfaces (rectangle et cercle) et des volumes dans des situations parfois complexes.

Grèce antique[modifier | modifier le wikicode]

L'école d'Athènes, tableau de Raphaël, présentant notamment Pythagore, Aristote, Euclide, Archimède entouré d'étudiants et Ptolémée

La grande nouveauté des mathématiques de la Grèce antique est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour entrer dans celui de l'abstraction. Les Grecs ont récupéré des éléments des mathématiques babyloniennes et égyptiennes et ont surtout cherché à les asseoir sur des bases solides en démontrant rigoureusement les théorèmes et méthodes utilisées.

Pour les Grecs, les seuls vrais nombres sont les entiers positifs (sauf 0 et 1) et les nombres rationnels. Malheureusement, les traités mathématiques, transmis à travers leurs traductions arabes, ne décrivent pas les méthodes de calcul utilisées. En particulier, les méthodes d'addition et de multiplication d'entiers nous sont connues seulement à travers la lecture des textes littéraires !

Article à lire Article à lire : Mathématiques de la Grèce antique

Empire romain[modifier | modifier le wikicode]

Les Romains écrivaient les nombres avec des chiffres représentés par des lettres I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) et M (1000). Pour le calcul, ils utilisaient une planche à compter appelée abaque, qui était pratique pour l'addition mais assez peu pour la multiplication.

Article à lire Article à lire : Chiffres romains

Les Romains on récupéré les connaissances mathématiques grecques mais les ont très peu développées. On peut citer les découvertes géométriques de Ptolémée (IIe siècle après J-C), mais il les a développé principalement pour sa pratique astronomique.

On a tendance à décrire les Romains comme des pragmatiques, peu intéressés par l'abstraction, et cherchant l'efficacité. Ils ont utilisé les mathématiques surtout pour mener à bien leurs grands travaux (construction d'aqueducs, de temples, de monuments) pour lesquels ils ont développé une grande précision.

Autres grandes civilisations[modifier | modifier le wikicode]

D'autres civilisations ont développé des mathématiques originale indépendamment des mathématiques occidentales.

Chine[modifier | modifier le wikicode]

Les mathématiques chinoises sont apparues vers -1400. Les Chinois utilisaient un système de numération à base décimale sans zéro, et savaient écrire les nombres négatifs et les nombres décimaux.

Article à lire Article à lire : Numération chinoise
Diagramme représentant les 64 hexagrammes du Yi Jing envoyé à Leibniz en 1701

Les mathématiques chinoises se sont développées indépendamment des autres civilisations. Leurs résultats et théorèmes précèdent parfois de plusieurs siècles leur équivalent en occident. Au contraire des grecs, la recherche mathématiques est pratique et technique, tournant autour de l’amélioration d’algorithmes.

La période la plus ancienne (-1400 à -200) est mal connue. Il ne nous est parvenu que quelques ouvrages :

  • Yi Jing (environ -1000) : un livre de divination utilisant un système binaire complexe
  • Mo Jing (330 avant J-C) : un traité de géométrie qui définit les formes fondamentales (point, ligne, cercle, rayon…) et donne des méthodes de mesure
  • Zhou Bi Suan Jing (entre -1000 et -250) : un recueil de calculs astronomiques, qui contient une démonstration du théorème de Gougu (équivalent du théorème de Pythagore)

Sous la dynastie Han (-206 à 220), les mathématiques se développent grâce au suan zi (calcul avec des baguette, ancêtre de l'abaque) et à l'invention du système de numération décimale positionnel à 9 symboles. Les deux grands livres de l'époque, Neuf Chapitres sur l'art mathématique (Jiǔzhāng Suànshù, Ier siècle avant J-C) et Écrits sur le calcul (Suan shu shu, 186 après J-C) détaillent des méthodes de calcul de racine carrée, de résolution d'équation et de système d'équations (jusqu'à 5 inconnues). Elles étaient utilisées dans l'astronomie, l'arpentage, l'ingénierie, la comptabilité et la finance.

Durant la période des 3 royaumes, Liu Hui (IIIe siècle) et Zu Chongzi (IVe siècle) calculèrent une valeur approchée de π à 6 cinq chiffres après la virgule (ce qui ne fut pas amélioré pendant 900 ans), utilisèrent la triangulation, donnèrent les formules du volume du cylindre et de la sphère, et furent les premiers à développer des éléments de calcul infinitésimal. Sous la dynastie Tang (618-907), les mathématiques intègrent la formation des fonctionnaires impériaux.

Le XIIIe siècle sera celui de la renaissance des mathématiques chinoises. Qin Jiushao, Li Ye, Yang Hui et Zhu Shijie (qui a écrit le Miroir de Jade des quatre éléments en 1303) donnent des méthodes de résolution de systèmes d'équations complexes et des équations du second, troisième et quatrième degré, notamment en utilisant la géométrie et l'algèbre. Guo Shoujing et Shen Kuo développe la trigonométrie pour l'astronomie.

Du XIV au XVIIe siècle, la Chine se détourne des mathématiques et de la physique pour favoriser la botanique et la pharmacologie. Cependant c'est l'époque où le boulier remplace les baguettes pour les calculs, ce qui facilite grandement les calculs complexes. Dans les siècles qui suivront les mathématiques occidentales arriveront et se diffuseront en Chine grâce aux jésuites.

Amérique précolombienne[modifier | modifier le wikicode]

Les civilisations précolombiennes (Maya, Incas, Aztèques) ont développé des mathématiques qui sont pour certaines assez bien documentées.

Mayas[modifier | modifier le wikicode]

La civilisation Maya s'est développée entre environ 2600 avant J-C à 1520 après J-C au sud du Mexique. Elle utilisait une écriture des nombres en base 20 qui s'inspire sans doute de l'écriture des nombres Olmèques (de 2300 avant J-C à 500 avant J-C) pour les symboles et des nombres Zapothèques (de 500 avant J-C à 1500 après J-C) pour la base 20. Ils utilisaient deux zéros : l'un pour indiquer une place vide dans un nombre (comme dans 101) et l'autre pour une mesure nulle (comme dans 0 mètre).

Article à lire Article à lire : Numération maya

Les sources sont des codex écrits autour du XIIIe siècle qui ont survécu aux destructions de l'Inquisition espagnole. Les Mayas utilisaient principalement le calcul (peu de géométrie) et servaient surtout à l'établissement des calendriers et à l'astronomie.

Alors qu'ils ne travaillaient qu'à l'oeil nu, leurs observations de la Lune et des planètes étaient très précises. Ils ont mesuré la durée de l'année solaire de manière plus précises que les astronomes européens de la même époque : 365,2420 jours chez les Mayas contre 365,2425 jours pour le calendrier grégorien alors que la valeur actuelle est de 365,2422 jours.

Nazca[modifier | modifier le wikicode]

La civilisation Nazca s'est développée entre 200 avant J-C et 600 après J-C dans le sud du Pérou. Elle est connu pour les lignes de Nasca. Beaucoup d'entre eux sont des formes géométriques et selon certains archéologues 2, ils pourraient représenter un calendrier astronomique, dont les lignes pointeraient vers des étoiles remarquables ou des constellations. Cette théorie est contestée.

Incas[modifier | modifier le wikicode]

Dessin d'un quipu

La civilisation Inca s'est développée entre environ 1200 et 1530 après J-C dans les Andes. Elle utilisait un système de numération positionnel à base 10, assez proche de celui utilisé aujourd'hui en Occident. Cependant, comme les incas ne connaissaient pas l'écriture, ils utilisaient des cordes à nœuds (les quipus) pour mémoriser les nombres : un type de nœud pour l'unité, un type de nœuds pour la dizaine et un type de nœud pour la centaine.

Ces quipus servaient principalement aux statistiques de l'empire Inca : recensement de la population et des troupeaux, état des stocks de céréales, impôts, contrats et ventes, dates importantes… Ils étaient utilisés uniquement par des fonctionnaires spécialisés.

Aztèques[modifier | modifier le wikicode]

La civilisation Aztèque s'est développée entre environ 1200 et 1530 après J-C dans l'actuel Mexique. Ils utilisaient une écriture de position à base 20, comme les Mayas. C'est la seule civilisation précolombienne à avoir laissé des documents d'arpentage, écrit avec des glyphes.

Les mathématiques aztèques leur permettaient de tenir un registre des cadastres, de tenir les comptes des propriétés agricoles, de calculer les impôts et d'élaborer un calendrier cyclique précis.

Inde[modifier | modifier le wikicode]

Évolution des numérations indiennes et arabes

La Civilisation de l'Indus remonte à 3300 avant J-C. Les traces archéologiques les plus anciennes retrouvées (notamment des instruments de mesure) montrent qu'elle utilisait un système décimal et des systèmes de mesures assez précis. La religion a eu une forte influence sur le développement des mathématiques.

Les Sulba-Sutras, des appendices aux Védas, sont des ouvrages de géométrie qui permettaient de construire des autels conformes à la religion védique. Ils montrent que les Indiens savaient calculer les aires des quadrilatères et du cercle, connaissaient le théorème de Pythagore et pouvaient résoudre des équations simples.

C'est durant les premiers siècles de notre ère qu'un système décimal de position est mis en place pour écrire les nombres. Il sera récupéré par les arabes, et transmis en Europe plus tard. La fascination pour l'infini a eu une grande importance dans les mathématiques indiennes : symbole pour l'infini et le zéro, différence entre dénombrable et indénombrable…

Durant la période dite classique (de 400 à 1200 après J-C), les mathématiques se développent de manière rigoureuse, en grande partie grâce aux besoin de l'astronomie : utilisation des nombres négatifs, tables trigonométriques, prémisses du calcul infinitésimal, résolution de systèmes d'équations… Les grand mathématiciens de l'époque sont Aryabhata (VIe siècle), Bhaskara I (VIIe siècle), Brahmagupta (VIIe siècle) et Bhaskara II (XIIe siècle).

Japon[modifier | modifier le wikicode]

Sangaku japonais datant de 1859

Le Japon a une longue histoire. Le développement des mathématiques a principalement eu lieu durant l'époque Edo (1603-1867), quand le pays est coupé du reste du monde. Les mathématiques japonaises (wasan) s'opposent aux mathématiques occidentales (yosan) et seront abandonnées à l'époque Meiji (1868-1912) quand l'empereur ouvrira son pays au reste du monde.

Les mathématiques japonaises prennent leur source dans les mathématiques chinoises. Les mathématiciens japonais vont développer l'arithmétique et le calcul infinitésimal. Yoshida Schichibei Koyu a écrit Jinkoki (1627), un livre sur les méthodes de calcul avec le boulier japonais (le soroban).

Parmi les traces archéologiques, il y a les sangaku3 : des tablettes, souvent en bois, proposant un problème mathématique (souvent géométrique) aux étudiants. Au verso, la solution est détaillée et le résultat est donné. Ils montrent que les japonais maîtrisaient bien les théorèmes de géométrie euclidienne (sans passer par la démonstration axiomatique des Éléments) et résolvaient des problèmes complexes de calcul de longueurs de surface et de volume (avec des polyèdres, des cercles, des ellipses, des paraboles, des sphères...).

Civilisation islamique[modifier | modifier le wikicode]

Entre 600 et 1500 après J-C, le monde arabo-musulman connaît un développement important des mathématiques. Héritiers des Grecs et des Indiens, les mathématiciens arabes vont profondément transformer la discipline, développant la géométrie et la trigonométrie et fondant l'algèbre. Elles seront transmises à l'Occident vers la fin du Moyen-Âge.

Article à lire Article à lire : Mathématiques de la civilisation arabo-musulmane

Les mathématiques occidentales[modifier | modifier le wikicode]

Moyen-Âge et Renaissance[modifier | modifier le wikicode]

Manuscrit du Liber abaci, conservé à la Bibliothèque nationale de Florence

Les mathématiques stagnent en Europe médiévale. Du Ve au Xe siècle, le trivium (rhétorique-grammaire-dialectique) domine le quadrivium (arithmétique-musique-géométrie-astronomie). Elles connaîtront un nouvel essor à partir du Xe siècle avec la découverte des textes arabes (en Espagne musulmane et en Sicile), qui véhiculent la science grecque.

Gerbert d'Aurillac (938-1003) va faire découvrir l'écriture des nombres en chiffres arabes. Mais c'est durant les XIIe et XIIIe siècles que les musiciens et les commerçants vont les adopter et les diffuser, pour des raisons de facilités de calcul. Léonard de Pise, dit Fibonacci (Italie, 1180-1250) va écrire un traité de leur utilisation, le Liber abaci. Les nombres irrationnels et les nombres négatifs vont être utilisés et acceptés comme solutions à des problèmes, ce que les mathématiciens arabes avaient refusé de faire.

En 1434, Gutenberg invente l'imprimerie. La fabrication plus rapide et facile de livres va faire baisser les prix, ce qui permettra une diffusion plus aisée et rapide des connaissances scientifiques. Les premiers livres de mathématiques imprimés sont Les éléments d'Euclide en 1482, De la sphère et du cylindre d'Archimède et la Summa de Lucas Pacioli en 1492 (compilation du savoir mathématique de l'époque). Des bibliothèque publiques sont ouvertes par les princes pour abriter ces ouvrages, comme à Florence ou Rome.

Durant la Renaissance, les sciences se développent en parallèle des autres sciences, notamment en Italie, en France, en Pologne et en Allemagne. les mathématiciens inventent de nouvelles notations pour écrire des nombres et des calculs de plus en plus complexes. Jusqu'à présent en effet, les résolutions se faisaient essentiellement en phrases, ce qui rendaient les textes longs et confus. Les symboles mathématiques inventés par le français François Viète, le hollandais Simon Stevin, l'allemand Stifel, l'anglais Recorde, l'italien Raphaël Bombelli, et bien d'autres, permettront de les alléger considérablement.

Ce nouveau langage permettra le développement de l'algèbre fondée par les mathématiciens arabes. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle vont se stimuler à travers des défis et trouver les formules pour calculer les solutions d'équations du troisième et du quatrième degré.

XVIIe et XVIIIe siècles[modifier | modifier le wikicode]

La vie scientifique[modifier | modifier le wikicode]

Durant cette période, la science s'autonomise, se codifie et s'éloigne de la religion. Galilée, Francis Bacon et René Descartes établiront les règles de la méthode scientifique. Rompant avec la pensée antique, qui cherchait à expliquer le pourquoi, il s'agit désormais d'expliquer le comment.

Les mathématiques deviennent le langage permettant aux autres sciences de décrire la nature. En 1623, Galilée écrit dans Il Saggiator : « L'univers est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d'en comprendre un mot. »

Les savants sont souvent des amateurs. S'ils ont de la chance, ils sont pris en charge par un mécène, qui leur demande souvent d'être précepteur de leur enfant en échange. Il faut donc suivre la cour du protecteur, et les mathématiciens sont isolés les uns des autres. Mais le développement de la correspondance au XVIIe siècle et des périodiques au XVIIIe siècle va permettre d'échanger des idées à travers toute l'Europe.

Les Universités, fidèles au cursus médiéval, ne jouent aucun rôle dans le développement des sciences. Les mathématiciens sont des innovateurs et forment un réseau indépendant, souvent en lien avec la Compagnie des Jésuites (comme Descartes, Mersenne, Fontenelle ou Cassini). En revanche, les pouvoirs royaux vont créer des académies de savants où ils pourront se rencontrer, mener leurs travaux et valider les avancées scientifiques : Academia dei lincei à Rome (1603), Royal society à Londres (1645), Academia del Cimento à Florence (1657), Académie des sciences à Paris (1666)…

Les voyages permettent le brassage des idées et des cultures. Paris, Florence, Amsterdam, Londres, Rome sont des passages obligés pour l'étudiant en mathématiques. Le latin reste la langue de référence pour communiquer. Cependant au XVIIIe, les idées des Lumières poussent à diffuser la connaissance au plus grand nombre et les langues nationales gagnent du terrain. L'Encyclopédie est écrite en français. Plusieurs de ses rédacteurs sont des mathématiciens importants, en particulier Jean Le Rond d'Alembert.

Naissance de l'analyse[modifier | modifier le wikicode]

La principale avancée de cette période concerne la naissance de l'analyse, avec l'invention de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal. On peut aussi noter l'invention du logarithme en 1614 par l'anglais John Napier qui facilitera et raccourcira grandement les calculs.

Le calcul infinitésimal permet à Newton de calculer les orbites des astres du système solaire

La géométrie analytique est inventée par Renée Descartes en 1637 dans La géométrie. A la suite de Galilée qui a amené le mouvement dans la géométrie, Descartes voit les courbes comme l'évolution d'un point dans le temps. Il innove en plaçant ces courbes dans un repère et en voyant les coordonnées comme des fonctions du temps. Il se lance alors dans une classification des courbes selon l'équation qui lie leurs coordonnées.

Le calcul infinitésimal est inventé en parallèle par l'anglais Isaac Newton entre 1671 et 1704 (pour exprimer et utiliser ses lois de la gravitation) et l'allemand Gottfried Leibniz entre 1675 et 1684 (pour résoudre des problèmes de calcul d'aires et de tangentes à une courbe). Une querelle de postérité aura lieue entre ces deux savants.

Le développement de l'analyse s'est nourri des problèmes de l'astronomie et de la physique. Le monde et ses lois vont être traduits en équations, que l'on manipulera avec le calcul infinitésimal et visualisera avec la géométrie analytique. Mécanique des corps, mécanique des fluides, mécanique des ondes, optique, acoustique… aucune science n'échappera à la mathématisation. La prédiction en 1705 par Edmund Halley du retour de la comète qui portera son nom marquera le triomphe de la physique mathématique.

Une synthèse des connaissances en analyse sera menée au XVIIIe siècle par les deux grands mathématiciens du siècle, le suisse Leonhard Euler (étude de la fonction exponentielle et des fonctions trigonométriques, classification des fonctions, établissement des notations encore utilisées aujourd'hui) et le français Joseph-Louis Lagrange (règles du calcul différentiel et du calcul intégral).

Les autres domaines[modifier | modifier le wikicode]

D'autres disciplines connaissent d'importantes innovations :

  • Probabilités : elles sont inventées par Blaise Pascal et Pierre de Fermat en 1654. Elles seront développées tout au long du XVIIIe siècle.
  • Algèbre : les mathématiciens recherchent sans succès les formules donnant les solutions des équations du cinquième degré et plus ; le concept de matrice est développé à partir de 1748 par les britanniques Colin MacLaurin et Gabriel Cramer ; en 1746, après plusieurs tentatives infructueuses d'Euler et Lagrange, D'Alembert démontre, mais de manière imparfaite, le Théorème fondamental de l'algèbre.
  • Géométrie : de nouvelles branches émergent, développant des points de vue différents et originaux ; Girard Desargues fonde la géométrie projective en 1636 dans Pratique de la perspective, ses travaux seront développés par Blaise Pascal, Philippe de la Hire et Isaac Newton et mèneront à la géométrie descriptive de Gaspard Monge dans les années 1790 ; Leonhard Euler fonde la théorie des graphes en résolvant le problème des sept ponts de Königsberg en 1736.
  • Arithmétique : Bachet de Méziriac traduit les Arithmétiques de Dophiante en 1624 ; Pierre de Fermat énonce un grand nombre de propositions, dont son Grand Théorème, dont la quête de la démonstration occupera les mathématiciens pendant 300 ans ; Mersenne, Fermat, Goldbach, Descartes et Euler s'intéressent aux nombres premiers (formules pour en trouver, répartition dans la suite des nombres entiers).

XIXe siècle[modifier | modifier le wikicode]

La vie scientifique[modifier | modifier le wikicode]

Les mathématiques sont dominées au début du siècle par Carl Friedrich Gauss et à la fin par Henri Poincaré. La discipline se professionnalise. Jusqu'à présent, seuls de fortunés amateurs pouvaient soit pratiquer eux-mêmes, soit entretenir des génies. En plus, il est désormais très difficile de maîtriser l'ensemble des sciences et les savants sont de moins en moins polyvalents. Gauss et Poincaré sont les derniers génies universels.

Les revues spécialisées se multiplient : Journal für die reine und angewandte Mathematik de Crelle, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville,Acta Mathematica de Mittag-Leffler… Le latin est remplacé par les langues nationales. La France et l'Allemagne sont en pointe, suivis par la Grande-Bretagne et l'Italie.

Pour faire face aux besoins du progrès technique (machine à vapeur, électricité, magnétisme…), la société est en demande d'ingénieurs aux méthodes efficaces et rapides. Pour les former les universités se modernisent et accueillent les sciences modernes et de grandes écoles sont crées : Polytechnique, Centrale… La séparation mathématiques pures et mathématiques appliquées apparaît.

La quête des fondements[modifier | modifier le wikicode]

Le XIXe siècle est une longue quête de la clarification des fondements de la discipline. Les mathématiciens rêvent d'une science absolument rigoureuse et claire : Charles Babbage et Ada Lovelace s'interrogent sur les machines à calculer et la programmation (entre 1812 et 1844) ; George Boole établit les règles de la pensée logique (1854), Georg Cantor fonde la théorie des ensembles en s'interrogeant sur la nature de l'infini (1872), Giuseppe Peano détermine les axiomes fondamentaux de l'arithmétique (1889). Ces travaux sont la source de la crise des fondements du XXe siècle.

L'arithmétisation de l'analyse[modifier | modifier le wikicode]

Augustin Louis Cauchy met de l'ordre dans l'analyse en définissant rigoureusement les notions (limite, infiniment petit), en choisissant des notations rigoureuses et en redémontrant les théorèmes fondamentaux. Cela permet à lui et ses successeurs de développer la théorie des fonctions à variable complexe et la résolution des équations différentielles. Bernhard Riemann (en utilisant la géométrie) et Karl Weiestrass (utilisant la logique pure) synthétiseront ces travaux et détailleront la construction des ensembles de nombres.

L'algèbre moderne[modifier | modifier le wikicode]

La géométrie à la surface d'une sphère est une géométrie non-euclidienne

Le siècle commence avec un coup de tonnerre : après plusieurs siècles de recherches infructueuses, deux jeunes mathématiciens mettent un coup d'arrêt à la recherche des formules donnant les solutions des équations de degré 5 et plus. Niels Abel montre qu'elles n'existent pas pour le degré 5 en 1821 et Évariste Galois qu'elles n'existent pour aucun degré supérieur en 1832. L'algèbre moderne se développera sur leurs travaux et sera utilisée en physique au XXe siècle (notamment dans la théorie de la relativité).

Géométries non euclidiennes[modifier | modifier le wikicode]

La résolution d'un autre problème millénaire aboutit à la création d'un nouveau domaine. Les mathématiciens comprennent que le postulat des parallèles de la géométrie euclidienne peut-être changé et qu'alors on peut construire des géométries très différentes mais tout à fait cohérentes. Janos Bolyai (1829) et NikolaÏ Lobatchevski (1832) créent la géométrie elliptique, Bernhard Riemann (1854) et Hermann von Helmholtz (1867) la géométrie hyperbolique. Henri Poincaré et David Hilbert mettront en valeur l'importance de ces travaux à la fin du siècle.

XXe siècle[modifier | modifier le wikicode]

La vie scientifique[modifier | modifier le wikicode]

Les mathématiques de la première moitié du siècle est dominée par le mathématicien allemand David Hilbert. En 1900, au congrès international des mathématiques, il présente une liste de 23 problèmes non résolus particulièrement importants. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et donnent le ton de la recherche au XXe siècle.

Grâce aux progrès des transports et des communications, la mondialisation a aussi touché la recherche mathématique. De nouveaux pays ont émergé dans la recherche mathématique de pointe : États-Unis, Canada, Russie, Japon, et plus récemment Chine, Brésil et Inde.

Le métier s'est fortement spécialisé : on ne rencontre plus de mathématicien maîtrisant l'ensemble des disciplines, chacun d'entre eux est spécialiste d'un domaine particulier. Le nombre de mathématiciens et le rythme de la recherche ont explosé : en 1900, on estime que quelques centaines de mathématiciens publiaient environ 900 mémoires par an, contre quelques centaines de milliers de chercheurs pour plus de 15 000 mémoires par an actuellement.

De nombreux colloques et séminaires se sont tenus à un rythme soutenu dans toutes les régions du monde, participant au partage des connaissances. Hormis durant les deux Guerres Mondiales, un Congrès International des Mathématiques s'est tenu tous les quatre ans. De nombreux prix récompensent régulièrement les grands mathématiciens.

La crise des fondements[modifier | modifier le wikicode]

Suite aux travaux du XIXe siècle, David Hilbert veut à donner des bases solides à l'ensemble des mathématiques. En effet les travaux de Cantor et Peano ont révélé des paradoxes, comme le paradoxe du barbier ou l'hôtel de Hilbert, ce qui est insupportable pour une science obsédée par la cohérence.

Au début du siècle, Gottlob Frege cherche à réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques en partant de la théorie des ensembles de Cantor. Bertrand Russell pointe les paradoxes qui surgissent quelque soit l'approche choisie. Les mathématiciens du groupe Bourbaki mèneront un important travail de synthèse entre les années 30 et 50, ce qui débouchera sur ce qu'on a appelé les « maths modernes ».

La quête prend fin en 1931, quand Kurt Göde énonce et démontre ses théorèmes d'incomplétude. La réponse sonne comme un coup de tonnerre : toute théorie mathématique complexe ne peut être ni cohérente ni complète. Il y aura toujours des paradoxes et il existe des théorèmes qui ne peuvent pas être démontrés. Le statut des mathématiques par rapport au réel ne sera jamais tranché.

Informatique[modifier | modifier le wikicode]

Enigma, la machine d'Alan Turing décodant les messages de l'armée allemande

Les mathématiques ont été profondément liées au développement de l'informatique durant la seconde moitié du XXe siècle. Tout d'abord parce que les fondateurs de l'informatique sont souvent des mathématiciens. Par exemple, ||Alan Turing]] a conçu la machine Enigma pour décoder les transmissions allemandes et John von Neumann a conçu les premiers calculateurs numériques qui ont permis de concevoir la bombe atomique.

Après la Seconde Guerre Mondiale, les mathématiques ont souvent utilisé l'informatique pour effectuer des calculs ou des constructions géométriques complexes, qui étaient auparavant hors de portée, comme les prévisions météo. Les mathématiciens cherchent à développer et améliorer les algorithmes pour plus d'efficacité des machines.

Cependant les mathématiciens s'interrogent sur la validité d'une preuve qui ne peut pas être vérifiée par ordinateur. Par exemple, en 1976, Wolfgang Haken et Kenneth Appel ont démontré le Théorème des quatre couleurs à l'aide d'un ordinateur qui a effectué plus de 1200 heures de calcul, ce qui aurait été impossible par un être humain. Cela a suscité des réactions : un théorème démontré par ordinateur est-il vraiment démontré?

Théories et découvertes notables[modifier | modifier le wikicode]

Le XXe siècle est riche en découvertes et théories importantes :

  • Algèbre : entre 1955 et 1983, une longue recherche mobilisant une centaine de mathématiciens vient à bout de la classification des groupes finis simples (un type d'ensemble particulier)
  • Arithmétique : en 1940, André Weil démontre une version de la Conjecture de Riemann pour certain type de fonction et énonce les conjectures de Weil (elles seront démontrées dans le siècle) ; en 1995, Andrew Wiles démontre le Grand Théorème de Fermat, mettant fin à 300 ans de recherche.
  • Géométrie : la topologie devient une discipline a part entière et bénéficie de l'apparition de l'ordinateur.
  • Analyse : la théorie du chaos se développe dans les années 1960-1970 à partir des constations de Henri Poincaré sur l'incapacité à prédire l'évolution de certains systèmes très instables (illustré par le célèbre « effet papillon » ou les fractales de Benoît Mandelbrot).
  • Probabilités : en 1902, Andreï Markov invente les chaînes de Markov, qui expliquent comment évoluent des expériences aléatoires quand on les répète un grand nombre de foi ; en 1933, Andreï Kolmogorov fait le lien entre les probabilités et l'analyse, ce qui assoit les probabilités sur des bases solides.

Références[modifier | modifier le wikicode]

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

  • René Taton, Histoire du calcul, Vendôme, PUF, coll. « Que sais-je ? », 1969
  • Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, 1984
  • A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, Seuil, 1986
  • Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1994
  • Annick Horiuchi, Les Mathématiques japonaises à l’époque d’Edo, Paris, Librairie Philosophique J. Vrin, 1994
  • Denis Guedj, Le théorème du perroquet, Weidenfeld & Nicolson, 1998
  • Roger Caratini, Les mathématiciens de Babylone, Paris, Presses de la Renaissance, 2002
  • Karine Chemla, Les Neuf Chapitres, le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Dunod, 2004
  • Evelyne Barbin, La révolution mathématique du XVIIe siècle, Ellipses, 2006
  • Jean-Jacques Samueli et Jean-Claude Boudenot, Trente livres de mathématiques qui ont changé le monde, Ellipses 2006
  • Michel Rousselet et Catherine Morice-Singh, A la découverte des mathématiques des pharaons, des mayas et de l'Inde ancienne, Pole , 2010.
  • Clifford A. Pickover, Le Beau Livre des Maths - De Pythagore à la 57e dimension, Dunod , 2010
  • Jean C. Baudet, Histoire des mathématiques, Vuibert, 2014

Liens internes[modifier | modifier le wikicode]

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

Notes[modifier | modifier le wikicode]

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