Probabilité

Cet article présente la notion mathématique de probabilité, voir l'article théorie des probabilités pour le domaine d'étude.

La probabilité va permettre de calculer et définir tous les résultats possible lorsque la personne va lancer les dés.

En mathématiques, une probabilité permet de mesurer la chance qu'un événement futur se produise. Le nombre est positif ou nul et inférieur à 1. Il est souvent multiplié par 100 pour avoir un résultat en pourcentage. Une probabilité égale à 1, ou 100%, signifie que l'évènement est certain de se produire.

Dans les cas simples, le calcul de la probabilité d'un évènement est calculé en divisant le nombre de cas favorables possibles par le nombre de toutes les possibilités équivalentes.

Les cas faciles sont ceux où on peut répéter l'événement un très grand nombre de fois et donc sans la moindre théorie on fait le rapport des événements observés favorables sur le total des essais. Ainsi on peut savoir si les dés sont truqués ou pas, si une face revient trop souvent, plus qu'une fois sur 6.

Pareil pour les atomes radioactifs très nombreux, on mesure le nombre d'atomes désintégrés par heure ou jour divisé par leur nombre total, pour savoir la probabilité de demi vie, même si celle ci atteint le milliard d'années pour l'uranium.

Les probabilités permettent aussi d'établir des lois et des théories sur le hasard, les événements peu prévisibles comme par exemple la probabilité qu'un ordinateur tombe en panne avant un an, qu'un séisme se produise, qu'une catastrophe nucléaire se produise, qu'une banque fasse faillite, ou de guérir d'une maladie. Ce genre de hasards sont étudiés ou approchés en théorie des probabilités, en principe.

En premier lieu pour un ordinateur, il faut des informations statistiques sur les pannes, avis des clients, pannes observées par le fabricant par le passé, causes, les plus précises possibles, différences par rapport au passé avec amélioration de la fiabilité, ce qui est très difficile, subjectif, qu'on essaye de bien évaluer en théorie des probabilités qui sert surtout à éviter les erreurs de raisonnement.

Ce type de probabilité faible est très difficile à bien évaluer, soit pour un client, soit pour un fabricant, alors qu'elle est très utile, voire indispensable pour notre vie et décider. Car souvent il est impossible d'avoir suffisamment d'informations, de plus il est impossible de répéter l'événement et donc, même avec la théorie des probabilités, l'évaluation est très critiquable, basée sur plus des impressions qu'une réalité.

Par exemple lorsque un tel événement très rare se produit, comme pour Tchernobyl, la probabilité jugée avant quasi impossible est re-évaluée en la multipliant par plus de un million, car l'impossible est devenu réalité, ce qui change totalement sa probabilité de imaginaire, impossible, à bien réel et possible, preuve que la théorie des probabilités est peu inefficace pour les événements très rares et impossibles à reproduire.

En mathématiques la théorie des probabilités est d'abord l'étude de la structure et du dénombrement (ou mesure de la taille ) des ensembles des événements favorables dans l'ensemble de tous les événements, en faisant très attention à bien les définir sans erreurs. Aussi avec les années sur des siècles un vocabulaire très mathématiques et très précis a été développé.

Exemples

En tirant un dé avec 6 faces, la probabilité de tomber sur le chiffre « 2 » est de 1/6. En effet, il y a une seule possibilité de tirer le nombre « 2 » et le nombre de tous les cas possibles est 6. Cela est vrai si le dé n'est pas truqué. C'est-à-dire que chaque face doit avoir la même probabilité de sortir.

Si on lance une pièce en l'air, la probabilité que l'on tombe sur l'une ou l'autre des faces est de 1/2, soit 50%, il y a une chance sur 2. En fait, le nombre est légèrement plus petit que deux car il existe une faible probabilité que la pièce retombe sur la tranche et ne soit donc ni pile, ni face !

En langage mathématique on écrit plutôt :

$P(A)=0,5$, qu'on lit « la probabilité de l'évènement A est de 0,5 ».

où $A$ désigne l'évènement « la pièce tombe sur le côté pile » et $P$ symbolise la probabilité.

Les probabilités en mathématiques sont toujours comprises entre 0 et 1. Si la probabilité vaut 1 alors l'évènement se produit à tous les coups. Si la probabilité vaut 0 alors l'évènement ne se produit jamais.

Les probabilités peuvent être très petites : la probabilité qu'une météorite tombe aujourd'hui sur une voiture parquée près de chez soi est très faible, mais elle peut être évaluée, beaucoup mieux que celle d'une catastrophe nucléaire, car beaucoup de météorites sont tombés depuis des milliards d'années et donc on a la statistique de ces événements, nombre de météorites d'une taille fixée par année sur toute la Terre (ou la Lune pareil, très visible sur 4 milliards d'années ).

Le nombre de grandes catastrophes nucléaires est de 3 ( une cachée en 1957 en Russie Tcheliabinsk ) et un peu plus pour celles frôlées et donc l'évaluation est très subjective et elle diminue vite avec le temps après qui permet d'oublier que la probabilité de catastrophe est plus élevée qu'on pense.

C'est très visible pour les séismes, où on oublie même de construire antisismique correctement des décennies après ( comme à Messine en 1908 80 mille morts et à côté en Calabre en 1783 pareil 40 mille morts, qui va se reproduire dans moins de 40 ans avec une probabilité certaine de 1, pourtant dramatiquement sous estimée, car répétition tous les 130 ans environ depuis plus de 1000 ans, et pas qu'en Turquie ). La probabilité est parfois une question dramatique de vies ou de morts.

Utilisation

Les calculs de probabilités sont possibles et utilisés dans beaucoup de domaines :

• jeux (exemples : casino, loto, jeux vidéo, etc.)
• physique (exemple : la probabilité d'avoir un phénomène donné comme radioactivité ou mécanique quantique, pleine de probabilités même si "dieu ne joue pas aux dés" )
• météorologie (exemple : probabilité qu'il pleuve dans une semaine)
• démographie (exemple : probabilité que la population atteigne une certaine taille dans 10 ans)
• finance, économie (exemple : probabilité que le cours d'une action à la bourse s'effondre ou la banque fasse faillite )
• médecine (exemple : probabilité qu'une maladie se déclare chez une personne, probabilité de guérir ou qu'une épidémie éclate)
• biologie, génétique (exemple : probabilité qu'un enfant ait les yeux bleus si seul l'un des deux parents a les yeux bleus).
• Le paradoxe des anniversaires est un exemple avec le Théorème de Bayes appliqué 29 fois, en faisant très attention aux mots précis car deux au moins est différent de deux seulement, ou de tous les 30 avec tous le même jour anniversaire, ce qui donne des probabilités énormément différentes, la dernière est totalement impossible.

		Le savais-tu ?
	Le paradoxe des anniversaires
Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilité que deux au moins aient le même jour leur anniversaire ? Peu de chance ? Non ! Il y a 70 % de chance que cela arrive. Calcul de la probabilité : On calcule pour cela d'abord la probabilité que tous les jours d'anniversaire des élèves soient différents Pour le deuxième élève, la probabilité que son jour d'anniversaire ne soit pas celui du premier est de ${\frac {364}{365}}$ Pour le troisième, cette probabilité est de ${\frac {363}{365}}$ Pour le quatrième, cette probabilité est de ${\frac {362}{365}}$, etc. En généralisant : pour le 30ième élève, la probabilité est de ${\frac {365-29}{365}}={\frac {336}{365}}$ La probabilité que tous les anniversaires soient différents, pour 30 élèves, est donc : ${\frac {364}{365}}\times {\frac {363}{365}}\times {\frac {362}{365}}\times \dots \times {\frac {336}{365}}$ car il y a 30 élèves. En faisant le calcul, on trouve environ 0,294. Il y a donc 29,4 % de chances pour que toutes les dates d'anniversaires soient différentes. Mais on cherche le contraire: la probabilité qu'il y ait au mois une date d'anniversaire qui soit la même pour deux élèves. Comme il y a 100 % de chance qu'on soit dans un cas ou dans l'autre, on fait la soustraction pour trouver la probabilité de l'autre cas : 100 - 29,4 = 70,6 % !

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