Équation du second degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du second degré à une inconnue, il existe une méthode générale et facile à appliquer :

Prenons l’équation où l’inconnue est x et a, b, c des nombres (n’importe lesquels, il faut juste que a soit différent de zéro) :

$a{x}^2+bx+c=0$(1)

Il existe une valeur particulière, appelée discriminant (voir l’article Polynôme), que l’on note généralement $\mathrm{\Delta }$ (delta majuscule) et qui, avec les mêmes valeurs de a, b et c, vaut :

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.(2)

Selon la valeur de ce déterminant, tu peux connaître la forme des solutions de ton équation :

• si $\mathrm{\Delta }=0$, tu as une seule solution : $x=-\frac{b}{2a}$ ;
• si $\mathrm{\Delta }>0$, tu as deux solutions : $x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$ (remarque que c’est comme dans le cas précédent quand $\mathrm{\Delta }=0$) ;
• si $\mathrm{\Delta }<0$, tu n’as aucune solution réelle. Il existe néanmoins deux solutions dans l’espace des nombres complexes : $x_1=\frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Exemple

Pour résoudre l'équation $2x^2-3x+\frac{7}{8}=0$ où $x$ est une inconnue :

On calcule le discriminant $\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-4\times 2\times \frac{7}{8}=2$. Comme le discriminant est strictement positif, l'équation admet 2 solutions.

La forme générale des solutions donne $x_1=\frac{-(-3)+\sqrt{2}}{2\times 2}$ ou $x_2=\frac{-(-3)-\sqrt{2}}{2\times 2}$

En réduisant, on trouve $x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{4}$ ou $x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{4}$