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Fonction

« Fonction » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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Une fonction est un objet des mathématiques, au même titre que les nombres, les ensembles ou les vecteurs.

Chaque objet mathématique a sa particularité : par exemple, les ensembles sont comme de gros réservoirs contenant les autres objets ; les vecteurs sont des sortes de mouvements ; et les fonctions ? Ce sont les objets qui transforment d'autres objets.

On se propose de voir les fonctions comme de petites usines : elles transforment de la matière première en produit fini ! Dans ce cas, la « matière première » est les objets contenus dans l'ensemble dit de départ de la fonction (c'est l'ensemble de tous les objets qu'elle peut transformer). Le « produit fini », c'est l'objet de départ transformé par la fonction ; l'ensemble de tous les objets de départ transformés constitue l'ensemble d'arrivée de la fonction.

Définition mathématique[modifier | modifier le wikicode]

En mathématiques, une fonction est une application qui « part » d'un ensemble d'objets1 et « va dans » lui-même ou un autre ensemble. Elle associe à chaque objet de l'ensemble d'arrivée2 un (ou plusieurs) objets de l'ensemble de départ3. La notation symbolise donc clairement l'objet d'origine « transformé » par pour former le nouvel objet . La branche des mathématiques qui étudie les fonctions s'appelle l'analyse.

Exemple théorique : qu'est-ce qu'une fonction ?[modifier | modifier le wikicode]

Notre fonction, , associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, .

Prenons la fonction représentée (schématiquement) à droite. Elle associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, . Bien sûr, les caractères latins et grecs ne sont pas de objets mathématiques, et les fonctions travaillent le plus souvent sur des nombres ; mais c'est un exemple pour comprendre.


  • L'ensemble de départ de est donc , et son ensemble d'arrivée est .


  • . Ici, est appelé image de par , et est appelé antécédent de par .


  • On observe qu'il y a plus d'éléments dans l'ensemble de départ que dans l'ensemble d'arrivée : ce n'est pas un problème.
    • d'où règle : une fonction peut associer à plusieurs objets la même image ; mais jamais plusieurs images au même objet !
  • Ainsi, , de même qu'avec la fonction carré notée qui "à associe son carré" on a .

En revanche, on ne peut pas avoir et si  : cela reviendrait à avoir et , ce qui est absurde ! Un élément de l'ensemble de départ a donc au plus une unique image.


  • On peut aussi effectuer des opérations sur les fonctions, comme sur les nombres : somme, différence, multiplication, passage à l'inverse, division et composition sont les plus courantes (on en détaillera juste après). Il existe également deux autres opérations fondamentales sur les fonctions : la dérivation et la primitivation.
  • Soit une fonction , du même type que notre fonction c'est à dire dont les ensembles de départ sont identiques, et un élément de l'ensemble de départ.
    • Somme : . Ici, est une nouvelle fonction qui possède le même ensemble de départ que et .
    • Différence : .
    • Multiplication avec un nombre : Soit un nombre réel. On note alors . est donc une nouvelle fonction ayant le même ensemble de départ que celui de .
    • Multiplication entre fonctions : On note la fonction qui vérifie . est ici aussi une nouvelle fonction.
    • Composition : On note . Ici, la fonction transforme en et envoie le résultat à , qui le transforme à son tour en .

Attention ! bien que , n'est pas forcément égal à  !.

Exemples pratiques[modifier | modifier le wikicode]

En pratique[modifier | modifier le wikicode]

On définit par exemple , notée également . Pour calculer la valeur de , on effectue le calcul en remplaçant la variable par 3:

Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction ! C'est aussi la raison pour laquelle est parfois appelé paramètre : le résultat de dépend de la valeur que l'on donne à .

Exemples algébriques[modifier | modifier le wikicode]

  • Une fonction constante est de la forme , avec une constante (c'est-à-dire un nombre qui ne varie pas). est la fonction constante qui transforme tout en le nombre 3.
  • Une fonction affine est de la forme , avec a et b des constantes.
  • Une fonction puissance est de la forme , où a est une constante.
  • Une fonction polynômiale est de la forme , où est le n-ième coefficient de la fonction (chaque a étant une constante).

Fonctions remarquables[modifier | modifier le wikicode]

Injection, surjection, bijection[modifier | modifier le wikicode]

Injection[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction est dite injective si elle associe à chacune de ses images au plus un antécédent. Visuellement, l'ensemble d'arrivée d'une telle fonction est de « taille » égale ou supérieure à celle de l'ensemble de départ : il se peut que certains éléments n'aient pas d'antécédent par la fonction.

La définition mathématique de l'injectivité est « quels que soient x et y appartenant à l'ensemble de départ E, si f(x) égale f (y) implique que x égale y, alors f est injective ». Cela s'écrit .

Surjection[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction est dite surjective si elle associe à toute image au moins un antécédent. Par exemple, la fonction utilisée dans notre exemple est surjective, parce que chacune de ses images a au moins un antécédent (elles en ont toutes un, sauf γ qui en a deux).

Si E est l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée de la fonction f, la définition mathématique de la surjection s'écrit , ce qui se lit simplement « si (et seulement si), pour toute image y, il existe (au moins) un élément x tel que x est l'antécédent de y par f, alors f est surjective ».

Bijection[modifier | modifier le wikicode]

  • Vikidia possède enfin un article Bijection !

Une fonction est qui à la fois injective et surjective est dite bijective. Dans le cadre d'une fonction bijective, chaque antécédent est donc associé à une unique image, et chaque image n'a qu'un antécédent. Par exemple, les fonctions affines (comme ) sont toutes bijectives4, parce qu'à partir de n'importe quelle image, on peut retrouver un (et un seul) antécédent.

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  • se lit « F de X ».
  • Une fonction peut se calculer à partir de plusieurs variables, on note alors f (x, y) ou f (x1, x2, ... xn-1, xn).
  • Voir aussi Dérivée de fonctions

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dans la plupart des fonctions étudiées, ces objets sont des nombres ; mais on peut former des fonctions manipulant des ensembles, ou d'autres objets mathématiques.
  2. On note généralement cet objet .
  3. Alors noté . Mais la lettre n'a pas d'importance particulière, il faut la voir comme un nom : on peut créer une fonction qui transforme en .
  4. Hormis, bien sûr, les fonctions constantes, qui ne sont ni injectives, ni surjectives (puisqu'elles associent une seule image à tous leurs antécédents).
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