Fonction (mathématiques)

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Graphique représentatif d'une fonction

Une fonction mathématique est une série d'opérations qui décrit l'évolution d'un nombre par rapport à un autre. Cette relation transforme un nombre (on dit une donnée), noté x en général, en un autre nombre, noté y grâce à une succession d'opérations noté f. Donc y est également appelés image du nombre x par le programme de calcul f qui se note f(x) et se lit "image du nombre x par le programme f".

Le seul cas de figure où l'on ne peut pas appliquer f(x) c'est si x=3. F est donc définie par qui signifie l'ensemble des nombres réels sans 3. On peut voir une fonction comme une usine : d'un côté on fait entrer les nombres x et de l'autre, on voit ce qui sort, y.

Il y a plusieurs types de fonctions. Les trois plus simples sont :

  • les fonctions affines, dont la représentation graphique est une droite ;
  • les fonctions linéaires, dont la représentation graphique est une droite passant par un point précis du graphique nommé l'origine (la coordonée [0;0]) ;
  • les fonctions constantes, dont la représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Il existe beaucoup d'autres fonctions, qui sont étudiées par la discipline mathématique appelée analyse.

Exemples de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

Fonctions affines[modifier | modifier le wikicode]

C'est la forme la plus simple en fonction.

Une fonction affine s'écrit sous la forme :

ou plus fréquemment :

Fonction linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Graphe de plusieurs fonctions linéaires. Comme b=0, toutes les fonctions linéaires passent par l'origine du repère.

Une fonction linéaire est un fonction affine, mais avec la particularité, dans un graphique, de passer par la coordonée [0;0], voir l'image à droite.

On note :

La particularité de cette fonction est logique, car si , le résultat sera une multiplication par zéro, donnant dans tous les cas, le même et unique nombre, 0. La droite passe donc par la coordonée [0;0] : zéro pour la valeur x, et zéro pour la valeur y, associée au cas du zéro pour x.

Concrètement, elle sert à représenter une relation de proportionnalité, par exemple un prix qui est proportionnel au nombre d'objets achetés.

Si le prix d'un objet est de 6 on note

représente le nombre d'objets, et le prix total (les mathématiques ne se préoccupent pas de l'unité, mais cela pourrait être des francs, des euros ou des dollars)

Donc si le nombre d'objets est de 2, on dit que

Comme on a

donc
ce qui donne

Si on veut en faire une représentation graphique, on obtient une droite qui passe par l'origine, c'est-à-dire le point d'intersection entre l'axe des abscisses (l'axe horizontal des x) et l'axe des ordonnées (l'axe vertical des y).

Le terme a est appelé « pente » ou coefficient directeur de la droite: plus il est grand, plus les y augmentent rapidement avec les x.

Fonction affine non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Le cas général, c'est-à-dire le cas où b n'est pas égal à zéro s'écrit :

Concrètement, il peut s'agir du cas d'une facture téléphonique où l'on paye d'une part un abonnement, et ensuite un prix proportionnel à la durée de communication.

Dans cet exemple si le prix de l'abonnement est de 15, et celui de la consommation horaire de 6, on note :

.
représente le nombre d'heures, et le prix total à payer

Si on ne téléphone pas, on a , et cela donne

donc
donc (il faut de toute façon payer le prix de l'abonnement)

Si on téléphone 3 heures, on a , donc :

Fonction constante[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction constante est une fonction donc la représentation graphique est une ligne droite perpendiculaire à l'axe des ordonnées, et parallèle à l'axe des abscisses, car chaque valeur de x est remplacée par le même nombre.

Par exemple :

  • si x = 5, y = 3 ;
  • si x = 2, y = 3.

Dans le cas cette fonction constante, le résultat y est sans cesse égal à trois, l'image reste la même quelle que soit l'antécédent x.

Autres types de fonctions[modifier | modifier le wikicode]

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