Livre d'or
Livre d'or

CommunautéGazette de l'hiver
Que pensez-vous de Vikidia ? Venez mettre un message sur le livre d'or !

Fonction exponentielle

« Fonction exponentielle » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
Aller à : navigation, rechercher
Chaque cellule se sépare régulièrement en deux cellules identiques : leur nombre augmente de façon exponentielle.
Graphe de la fonction exponentielle de base a

En mathématiques, parmi toutes les fonctions, il en existe une importante : la fonction exponentielle. Elle représente souvent quelque chose qui augmente de plus en plus vite. Sur un graphe, elle a une courbe reconnaissable, très plate à gauche puis grimpant en pente vertigineuse à droite.

Utilisations courantes[modifier | modifier le wikicode]

Dans la nature, en informatique ou dans la société, on dit de nombreux phénomènes qu'ils suivent « une loi exponentielle ». Cela signifie que leur évolution dans le temps ressemble à une fonction exponentielle : ces phénomènes augmentent de plus en plus vite, comme une multiplication à chaque instant. Ce n'est pas comme une augmentation régulière (« linéaire ») ou on ajoute le même nombre à chaque instant.

On parle de loi exponentielle pour :

Tous ces phénomènes sont caractérisés comme étant un peu « lents » à démarrer, pour ensuite connaître une évolution dans le temps de plus en plus rapide et importante.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Si quelqu'un a deux chevaux au départ et qu'il en veut un de plus chaque année, il en aura 2 puis 3 puis 4 puis 5... et 10 au bout de 8 ans, 22 au bout de 20 ans. L'augmentation du nombre de ses chevaux dans le temps est alors une fonction affine : il suffit d'ajouter 2 au nombre d'années pour avoir le nombre de chevaux.

Cependant, les chevaux se reproduisent. Disons que chaque couple de chevaux a deux petits tous les 4 ans, et que les chevaux ne meurent jamais. À partir de deux chevaux, sans en acheter ni en vendre, leur nombre est multiplié par 2 tous les 4 ans : il en aura :

  • 2 × 2 = 22 = 4 après 4 ans,
  • 2 × 2 × 2 = 23 = 8 après 8 ans,
  • 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 après 12 ans,
  • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32 après 16 ans,
  • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 = 64 après 20 ans…

Dans ce cas, c'est une fonction exponentielle. Elle peut augmenter moins vite qu'une fonction affine au début, mais bientôt elle augmente beaucoup plus vite.

Propriétés mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

La fonction exponentielle s'écrit le plus souvent exp ou et possède certaines particularités :

  • elle n’est jamais nulle, c'est-à-dire que son résultat n'est jamais 0 : même si on dirait qu'elle se confond, vers la gauche du graphe, avec l'axe (horizontal) des abscisses, elle ne l'atteint en fait jamais (on appelle cela une asymptote) ;
  • elle est strictement croissante sur l'intervalle des nombres réels : elle ne « diminue » jamais en allant vers la droite du graphe et ne fait même jamais de « pause » ;
    En bleu : la fonction exponentielle ; en vert : la fonction logarithme ; en pointillés gris : la première bissectrice (qui associe à chaque nombre lui-même). La fonction exponentielle de base e est la réciproque du logarithme de base e
  • elle est elle-même sa propre fonction dérivée ;
  • c'est une fonction qui « croît » plus rapidement que n'importe quelle fonction polynômiale ;
  • les fonctions sinus et cosinus s'expriment avec la fonction exponentielle (dans sa version complexe) ;
  • c'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien ;
  • c'est grâce à elle que sont définies les fonctions puissance.

Typiquement, on peut définir la fonction exponentielle de deux manières :

  1. soit comme la seule fonction qui, à la fois :
    • est sa propre dérivée ;
    • vérifie l'égalité e0 = 1 (on dit que c'est la seule solution de la plus simple équation différentielle : g’ = g avec la condition g(0) = 1)
  2. soit, indirectement, en disant que c'est la réciproque de la fonction logarithme népérien ; cela revient à définir l'exponentielle comme la fonction dont la courbe est le symétrique de celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice.
Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.