Fonction affine

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Une fonction affine par morceaux

Une fonction affine est une fonction f définie par une relation de la forme f(x)=a+bx où a et b sont deux nombres réels. Représentée dans un repère orthonormé, elle dessine une droite d'équation y=a+bx.

Dans la vie de tous les jours, une telle équation peut être utilisée, par exemple, dans le cas suivant :

Jean possède 8 euros dans sa tirelire. Tous les jours, il en obtient deux autres. Combien en aura-t-il dans deux jours, cinq jours, un an ?
Associons chaque élément avec ceux de notre problème. D'abord identifions qui est est x et qui est y. Dans ce cas, x est le nombre de jours et y la somme que possède Jean ce jour. On dit que la variable y dépend de x. Ensuite, le jour zéro, Jean a 8 euros. C'est l'ordonnée à l'origine. En notation mathématique : à x=0, y=8. La pente vaut deux, car tous les jours, il obtient deux euros de plus. L'équation qui décrit combien Jean possède d'argent selon le nombre de jours écoulés est donc y = 8 + 2×x (note : dans certains cas, les gens préfèrent utiliser la lettre t lorsque la variable est le temps. Mais cela n'a que peu d'importance.)
On peut a présent répondre à nos questions puisque l'équation est complète.
Combien aura-t-il d'argent au bout de deux jours (x=2) : y = 8 + 2×2 = 12 euros
au bout de 5 jours, il aura : y = 8 + 2×5 = 18 euros
au bout de 365 jours (un an) : y = 8 + 2×365 = 738 euros.

On peut aussi demander : au bout de combien de jours il aura, par exemple, 32 euros. Dans ce cas, la variable est modifiée, cela devient la somme d'argent. Il faut réorganiser l'équation. y = 8 + 2x peut aussi s'écrire x = y/2 - 4.

Il devint alors facile de répondre à la question, qui est, en langage mathématique, que vaut x (nombre de jours) lorsque y (somme d'argent) vaut 32 : x = 32/2 - 4 = 12. Au bout de 12 jours, Jean aura 32 euros. On peut vérifier que 32 = 8 + 2×12

On dit que la progression de la somme que Jean possède est linéaire.

Deux fonctions

Un autre exemple : Les parents de Pierre lui donnent toutes les semaines 5 euros. Il dépense 2 euros sur les 5. Il économise les 3 autres car il veut s'acheter une console de jeu dont le prix est de 120 euros. Dans combien de temps pourra-t-il s'acheter la console ? S'il économisait 4 euros par semaine, en combien de temps pourrait-il s'acheter la console ?

Vocabulaire[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'équation y=a+bx, on appelle « a » l'ordonnée à l'origine et « b » la pente.

Calcul des paramètres à partir de deux points[modifier | modifier le wikicode]

Comme par deux points il ne peut passer qu'une et une seule droite, si on connaît les coordonnées de ces points dans un repère, on peut calculer l'équation de la droite dans ce repère.

Soient M1 (x1, y1) et M2 (x2, y2) deux points du plan. La droite qui les relie est de la forme y=a+bx. On peut donc résoudre le système d'équation à deux inconnues suivant :

y1=a+bx1

y2=a+bx2

On a : y1-bx1=y2-bx2

on calcule d'abord la pente b=(y1-y2) / (x1-x2)

Puis on a :

l'ordonnée à l'origine a=y1-x1*b=y2-x2*b.

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