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Fonction dérivée

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En noir la courbe d'une fonction et en rouge la tangente à cette fonction

En mathématiques, la dérivée est un outil très puissant qui est associé à une fonction. Il permet de résoudre des centaines de problèmes dans tous les domaines scientifiques, que ce soit la physique, la chimie, la biologie, etc.

Historique[modifier | modifier le wikicode]

La dérivation fait partie, avec l'intégration, du calcul infinitésimal.

Ce dernier fut créé au XVIIe siècle mais on ne sait pas bien qui est son créateur : Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton ont eu des idées semblables à la même époque.

Principe[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer[modifier | modifier le wikicode]

L'exemple le plus simple d'utilisation de la dérivée est le cas de la fonction affine :

Soit une fonction affine : . On se place dans un repère orthonormé.

Cette fonction définit une droite dans le plan. On remarque que, lorsque l'on suit la droite horizontale du repère (appelée axe des abscisses) et que l'on se déplace d’un « pas » (une unité) vers la droite, on va monter de « pas » ( unités) sur la verticale (appelée axe des ordonnées).

Ceci est vrai pour tous les points de la droite. On « augmente » partout de la même manière. Cette augmentation, c'est ce qu'on appelle la croissance de la fonction. L'étude de la croissance des fonctions est l’intérêt principal de la dérivation.

Donc, notre fonction affine évolue toujours de la même manière (on avance de 1 en abscisse, on monte de en ordonnée) ; on dit que le nombre dérivé de la fonction est (pour chaque point de ). Justement, est appelé pente de .

Attention Le nombre dérivé est un nombre, mais la dérivée est une fonction. On la note souvent . Dans le cas de notre fonction affine, on a . Les physiciens la note également ou .

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Toutes les fonctions ne sont pas des fonctions affines, donc elles n'ont pas toutes une croissance pareille en tout point. C'est pour cela que la dérivée est une fonction. Si on a une fonction quelconque, nous donne la croissance de la fonction au point d’abscisse .

Dans le cas d’une fonction affine, on dit que la dérivée est constante puisqu'elle croît toujours de la même manière (elle est toujours égale à ).

Dans le cas d’une fonction constante, la dérivée vaut zéro (est nulle), ce qui s'écrit : , car une fonction constante se représente par une droite horizontale, donc elle ne « monte » ni ne « descend ».

Plus généralement, il existe plein de formules et de méthodes qui permettent de calculer la fonction dérivée d'une fonction.

On ne peut pas toujours connaître la dérivée d'une fonction, car certaines fonctions ne sont pas assez « lisses ». Dans ce cas, on dit que la fonction n'est pas dérivable.

Remarques[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction dérivable (c'est-à-dire dont la dérivée existe) n'a qu’une seule dérivée : on dit que la dérivée est unique.

En revanche, deux fonctions différentes peuvent avoir la même dérivée :

soit et  ;
on a la dérivée de , , et la dérivée de , ,
d'où alors que .

Plus la dérivée a de grandes valeurs, plus la courbe est « inclinée ».

La dérivation est l'opération inverse de l'intégration.

Calculs[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée de fonctions de référence[modifier | modifier le wikicode]

Les fonctions de référence admettent des dérivées connues, en voici une table :

Fonction Dérivée

Règles de calculs[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul de dérivation suit également des règles précises. Comment peut-on dériver une fonction de la forme  ? On pourrait se dire qu'on pourrait dériver séparément ces deux fonctions sauf que c'est faux. Si on développe cette expression puis qu'on la dérive, on ne trouve pas la même chose.

Fonction à dériver Dérivée

Dérivons la fonction  :

  • Par le développement et la table : . Alors .
  • Par les règles de dérivation, on reconnaît ici le produit  : . D'après la formule , on calcule nos dérivées u et v : , alors et alors . En réinjectant dans la formule de dérivation on obtient : . Alors . On trouve le même résultat même si l'acheminement est plus long. Pour des fonctions plus compliqués, on ne peut pas forcément développer alors on utilisera cette règle de calcul.

Application[modifier | modifier le wikicode]

Exemple avec la physique[modifier | modifier le wikicode]

L'application la plus parlante de la dérivation se trouve dans le monde de la physique.

Supposons qu'une personne marche à une vitesse de 4 km/h : à chaque fois qu'il se passe une heure, la personne avance de 4 km.

On peut donc établir une fonction qui, selon le nombre d'heures passées, nous donne la distance que la personne a parcourue : (ici, représente le nombre d'heures). C'est une fonction affine qu'on sait très bien dériver : . On remarque qu'on retrouve la vitesse de la personne !

Donc, lorsqu'on a une fonction qui nous donne une distance parcourue par quelqu'un, la dérivée nous donne la vitesse de cette personne.

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Ceci est l'application la plus simple de la dérivée ; en faisant des calculs plus poussés ou en prenant des fonctions plus complexes, on peut obtenir des résultats encore plus intéressants.

Pour reprendre notre exemple, si on dérive la vitesse, c'est-à-dire la dérivée elle-même (puisque la dérivée est une fonction, on peut dériver la dérivée), on obtient l'accélération. Mathématiquement on appelle ça une dérivée seconde.

Les sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

Une autre utilité de la dérivée est la détermination du sens de variation.

Comme on l'a expliqué, lorsqu'une fonction « monte » quand on va vers la droite (sur les abscisses), on dit qu'elle croît (ou qu'elle est croissante). De même, lorsqu'une fonction « descend » lorsqu'on va vers la droite (sur les abscisses), on dit qu'elle décroît (ou qu'elle est décroissante). C'est ce qu'on appelle le sens de variation.

On peut déterminer le sens de variation directement avec la dérivée en suivant ces trois règles :

  • si est négative, alors est décroissante autour de  ;
  • si est positive, alors est croissante autour de  ;
  • si , alors est « plate » autour de , cela veut dire que a une tangente horizontale en .

Attention Ici, est fixé : il décrit un point précis.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Pour étudier la fonction f définie par , on ne connaît pas de règles qui dit si cette fonction f est croissante ou non. En dérivant on obtient et on sait étudier cette fonction polynomiale du second degré. La dérivée est positive sur tout l'intervalle alors la fonction est strictement croissante sur tout l'intervalle .

Règle de l'Hôpital[modifier | modifier le wikicode]

Utiliser la dérivée peut aussi permettre de lever des indéterminations sur les calculs de limites, quand on trouve une forme indéterminée de limite du type : et .

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