Polynôme

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Représentation d'un polynôme de degré 3

En mathématiques, un polynôme (compose de poly- "plusieurs" et -nôme "terme") est une expression constituée de constantes, aussi appelées coefficients (3, 6, ...), d'une variable (x, y, ...) et d'exposants qui doivent être des entiers positifs (2 dans ), on peut les combiner en utilisant des additions, des soustractions, des multiplications, et des divisions (attention: on ne peut pas diviser une variable). Par exemple est un polynôme tandis que n'est pas un polynôme.

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Noms spécifiques[modifier | modifier le wikicode]

Il existe des noms spécifiques aux polynômes constitué de 1,2,3,4 et 5 termes : les monômes () (un seul terme : 3), les binômes () (deux termes : 5 et -1), les trinômes, etc. Pour se rappeler des noms des trois premiers, il suffit de penser aux types de vélo : monocycle (1 roue), bicycle (2 roues), tricycle (3 roues).

Les polynômes doivent avoir un nombre fini de termes.

Un polynôme peut ne pas avoir de variable du tout.

Degré[modifier | modifier le wikicode]

Le degré d'un polynôme correspond à la puissance la plus grande de cette variable. Par exemple : dans , la plus grande puissance attachée à x est 4 donc ce polynôme est de degré 4.

Écriture standard[modifier | modifier le wikicode]

Un polynôme s'écrit généralement en mettant en premier les termes avec les plus grands exposants (exemple: et non pas ).

Opération avec des polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Addition de polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Termes similaires[modifier | modifier le wikicode]

Des termes similaires sont des termes qui ont le même exposant, par exemple et sont des termes similaires puisqu'il ont le même exposant.

Procédure[modifier | modifier le wikicode]

Pour additionner deux polynômes, on met les termes similaires ensemble puis on les additionne entre eux. Par exemple :

On place les termes similaires ensemble :

On factorise :

Ce qui donne :

Soustraction de polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Soustraire un polynôme Y d'un polynôme X, c'est simplement additionner X et -Y. Par exemple:

On inverse les signes du polynôme soustrait :

On place les termes similaires ensemble :

On les additionne :

Ce qui donne :

Division de polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Les polynômes peuvent en outre être divisés, entre eux ou par un nombre réel. Pour diviser un polynôme par un nombre réel, on divise tous ses coefficients par ce nombre. Pour diviser un polynôme X par un polynôme Y, la méthode la plus simple est d'effectuer une division euclidienne. On pourra alors exprimer le polynôme de départ comme le produit du diviseur et du dividende, auquel on additionne le reste obtenu.

Dérivation et intégration des polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée d'un polynôme lui fait perdre un degré. En effet, si l'on dérive un polynôme de degré 2, nous obtiendrons un polynôme de degré 1. Cela induit donc que pour un polynôme de degré n, la dérivée n+1-ième de ce polynôme sera égale à 0.
Pour dériver un polynôme, on se sert souvent de cette formule générale de dérivation :

Primitive[modifier | modifier le wikicode]

La primitive d'un polynôme est égale à la somme des primitives des termes de ce même polynôme. Cela découle des propriétés des intégrales : l'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales dans le cas où les fonctions intégrées sont continues sur R (ce qui est toujours le cas des polynômes).
Par exemple :


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