Inverse

Ne pas confondre avec Opposé !

En mathématiques, l’inverse d’un nombre réel $x$ non nul est le nombre ${\frac {1}{x}}$ , aussi noté $x^{-1}$ . 0 n’a pas d’inverse car son calcul donnerait une division par zéro.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

x	-10	-2	-1	0	1	2	3	4	5	8	10
1 ÷ x	1 ÷ (-10) = -0,1	1 ÷ (-2) = -0,5	1 ÷ (-1) = -1	Impossible	1 ÷ 1 = 1	1 ÷ 2 = 0,5	1 ÷ 3 ≈ 0,33	1 ÷ 4 = 0,25	1 ÷ 5 = 0,2	1 ÷ 8 = 0,125	1 ÷ 10 = 0,1

Fonction inverse[modifier | modifier le wikicode]

La courbe représentative de la fonction inverse. On remarque que la fonction n’est pas définie en 0 et que la courbe a pour centre de symétrie l’origine du repère.

La fonction inverse associe à un nombre réel x non nul son inverse. On peut donc dire que f est la fonction inverse définie sur ℝ^* (tous les nombres réels sauf 0) par :

f(x)={\frac {1}{x}}

ou

f(x)=x^{-1}

Représentée dans un repère orthonormé, elle dessine une hyperbole. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ;0[$ (tous les nombres réels négatifs sauf 0) et également décroissante sur $]0;+\infty [$ (tous les nombres réels positifs sauf 0).

La fonction inverse est impaire, car pour tout x non nul, on a :

f(-x)={\frac {1}{-x}}=-{\frac {1}{x}}=-f(x)

Cela se traduit graphiquement : la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

La dérivée de la fonction inverse est $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ .

La primitive de la fonction inverse est : $F(x)=ln(x)$ .

Nombres complexes[modifier | modifier le wikicode]

L'inverse d'un nombre complexe $z$ s'écrit : ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}$ .

Comme $z=a+ib$ , alors ${\frac {1}{a+ib}}={\frac {a-ib}{(a+ib)(a-ib)}}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}$ .

Matrice[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice $A$ est inversibles'il existe une matrice $B$ qui est la matrice inverse de $A$ telle que $B=A^{-1}$ . En particulier, $AB=BA=I_{n}$ .

Pour une matrice de taille $2\times 2$ telle que $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$ Si $\det(A)=ad-bc\neq 0$ (déterminant de la matrice A), alors la matrice A est inversible, et sa matrice inverse est alors $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$