Euclide

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Euclide, effectuant probablement une construction géométrique au compas, vu par le peintre Juste de Gand.

Euclide est un mathématicien grec qui aurait vécu entre les IVe et IIIe siècles av. J.-C. Il est connu pour ses écrits, sur lesquels reposent une grande partie des mathématiques, et notamment les Éléments.

Biographie[modifier]

Le peu que l’on sait d’Euclide nous vient des écrits d’autres auteurs, dont certains ont vécu bien après lui. Nous savons donc très peu de choses sur sa vie. Ainsi Proclos, un philosophe athénien du Ve siècle apr. J.-C., nous rapporte qu’Euclide aurait étudié à Athènes puis serait parti, à l’invitation du pharaon Ptolémée Ier, enseigner à Alexandrie pendant une période comprise entre 323 et 285 av. J.-C.1,2. Il semble cependant que son témoignage soit discutable1.

Apollonios de Perga, géomètre et astronome grec qui aurait passé beaucoup de temps avec les disciples d’Euclide, est le premier à en parler, dans un ouvrage paru entre la fin du IIIe siècle av. J.-C. et le début du IIe siècle av. J.-C.1 ; Euclide doit donc lui être antérieur. D’autre part, les mathématiques qu’expose Euclide sont plus avancées que celles de Platon et Aristote et reprennent des travaux d’Eudoxe, ce qui impliquerait qu’il ait vécu après eux, c’est-à-dire soit à la fin du IVe siècle av. J.-C., soit au IIIe siècle av. J.-C.1

Euclide serait mort vers 265 av. J.-C. à Alexandrie3, mais il est possible que son nom, comme celui de Pythagore, ait aussi été utilisé comme celui d’une école mathématique qu’il aurait fondée et donc pour signer, même après sa mort, les travaux de ses disciples. Cela expliquerait certains problèmes de chronologie et les différents styles de rédaction des treize tomes des Éléments1,2,3, mais c’est aussi une hypothèse combattue4.

Son nom a longtemps été confondu avec celui du philosophe grec Euclide de Mégare (environ IVe siècle av. J.-C.) par ses traducteurs au Moyen Âge et à la Renaissance, comme le montre l’illustration précédente (au bas de laquelle on peut lire Euclidi Megaren).1,5


biographie simple d'Euclide

Euclide est un mathématicien grec. Il est né vers 325 avant J.C à Athènes, il vécut donc au 3ème siècle avant J.C. Il étudia tout d'abord à «l'école des successeurs de Platon» dans sa ville natale. Puis il fut invité par Ptolémée 1 à la grande «école d'Alexandrie» (en Égypte).Il y dirigea une équipe de mathématiciens. Il mourut vers -270 à Alexandrie.

Le domaine de recherche principal d'Euclide était la géométrie. Il écrivit une encyclopédie composée de 13 livres «Les éléments», ce sera la base de la géométrie pendant plus de 2 000 000 ans. C'est l'ouvrage le plus édité après la bible. «Les éléments» sont constitués de postulats. «Postulat» vient du latin «postulare» qui signifie demander. Un postulat est donc un principe que l'on demande d'accepter et qui est admis pour établir une démonstration ou pour la poursuite d'une théorie. On en apprend en sixième. Exemple : par deux point distincts, il passe une droite et une unique droite.



Ou bien : tout segment est prolongeable en une droite.


Euclide s'intéressait aussi à l'arithmétique. Il invente un algorithme bien célèbre qui porte le nom d'algorithme d'Euclide permettant de calculer le PGCD de deux nombres (plus grand diviseur commun).

Il apporté à la science de l'antiquité, une œuvre qui rassemble toutes les connaissances de son époque auxquelles il a ajouté son savoir. Il a aussi permit à des savants de grandes découverte. Plus tard Archimède Syracuse profitera de son travail pour découvrir la quadrature du cercle.

Œuvres d’Euclide[modifier]

Page de titre de la première édition anglaise des Éléments.

Éléments[modifier]

Présentation[modifier]

C’est l’œuvre la plus connue d’Euclide. Aujourd’hui, on considère généralement que celui-ci n’est pas à l’origine de la plus grande partie des théorèmes qu’il expose et que les Éléments sont une compilation de résultats prouvés avant lui (comme le théorème de Pythagore) ou par ses disciples2,3.

Les Éléments sont un ensemble de treize livres, auquels on peut rajouter deux autres livres écrits bien après : le livre XIV, rédigé par Hypsiclès (astronome et mathématicien grec, IIe siècle apr. J.-C.), et le livre XV (VIe siècle) qui traitent tous deux des polyèdres réguliers1.

La méthode axiomatique[modifier]

Dans les Éléments, Euclide applique pour la première fois1 la méthode axiomatique : il pose cinq affirmations, les axiomes (ou postulats), et construit sa théorie, la géométrie euclidienne, par déductions à partir de ces axiomes. Présentés dans le premier livre des Éléments, les cinq axiomes d’Euclide sont3,6 :

  1. Entre deux points quelconques, il existe une droite.
  2. Un segment peut être prolongé en une droite.
  3. Avec un segment quelconque, on peut tracer un cercle en prenant ce segment comme son rayon et l’une de ses extrémités comme son centre.
  4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
  5. Si deux droites coupent une même troisième en produisant, du même côté, des angles dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites se coupent entre elles de ce côté de la troisième.
    Illustration du 5e postulat : les deux droites bleues coupent la verte avec des angles α et β dont la somme (α+β) est inférieure à deux angles droits (2×90° = 180°). On constate que les deux droites bleues se coupent bien du même côté que ces angles.

Ils nous semblent évidents (d’où leur nom, du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi »), mais étaient impossibles à démontrer et devaient donc être acceptés sans démonstration pour permettre de travailler sur la géométrie.

Le cinquième axiome, souvent appelé « postulat d’Euclide », a longtemps été considéré comme superflu : on a pensé qu’il était plutôt un théorème que l’on pouvait démontrer en utilisant les quatre autres axiomes. Aujourd’hui, la communauté scientifique considère qu’il est bien un axiome, c’est-à-dire qu’il ne se démontre pas7. On peut construire d’autres géométries, appelées géométries non euclidiennes, en changeant juste ce cinquième postulat mais, à l’époque d’Euclide, ces géométries alternatives n’étaient pas connues8.

Contenu[modifier]

Les livres I à IV concernent la géométrie du plan ; les livres V et VI traitent des proportions ; les livres VII, VIII et IX réunissent des travaux d’arithmétique ; à partir du livre XI et jusqu’au XV, il est question de géométrie dans l’espace. Les livres V et X sont les plus subtils1,6.

  1. Le premier livre des Éléments commence par définir la notion de point, de ligne (droite) et de segment, puis présente les cinq postulats (« demandes ») et les « notions ordinaires »Précision. Il traite ensuite notamment de la construction du triangle équilatéral, de la somme de ses angles et du théorème de Pythagore (dont il effectue la toute première démonstration6).
  2. Le second livre s’occupe des bases de l’algèbre géométrique, c’est-à-dire des relations entre les nombres considérés géométriquement (longueur de segments, aires). Euclide y démontre ainsi, entre autres, les identités remarquables courantes et y évoque un cas particulier d’une équation du second degré.
    Le cercle inscrit à un triangle
  3. Le livre III traite des propriétés du cercle et des tangentes.
  4. Le livre IV étudie la construction des polygones, ainsi que leur inscriptionPrécision et circonscriptionPrécision par le cercle.
  5. Le livre V, consacré à la notion de rapport (proportion entre deux grandeurs), est parfois attribué au pythagoricienPrécision Eudoxe6 sans que ce point de vue ne soit majoritaire1. Il reprend en effet les travaux des pythagoriciens concernant les proportions, mais les étend aux nombres dits « incommensurables » (on parle aujourd’hui de nombres irrationnels, comme Pas réussi à analyser (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): {\sqrt 2}

). Ce livre, précurseur et très tardivement compris, servira de base aux travaux de Karl Weierstrass puis de Richard Dedekind, mathématiciens allemands du XIXe siècle1,6.

  1. Le livre VI applique la théorie des proportions présentée au livre V pour étudier les similitudes dans le plan et démontrer le théorème de Thalès.
  2. Le livre VII (comme les deux suivants) est consacré à la théorie des nombres (l’arithmétique). Il traite de la divisibilité des nombres entiers et, par conséquent, des notions de nombre premier, PGCD et PPCM. On y trouve pour la première fois l’algorithme d'Euclide.
  3. Le livre VIII étudie les suites géométriques et encore les proportions.
  4. Le livre IX démontre, par l’absurde, qu’il existe une infinité de nombres premiers. Il propose également une ébauche de démonstration du théorème fondamental de l'arithmétiquePrécision et donne le résultat de la somme d’une suite géométrique. Il aborde enfin la notion de nombre parfait.
    Le tétraèdre (4 faces)
  5. Le livre X, très long et difficile, démontre que Pas réussi à analyser (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): {\sqrt 2}
est un nombre irrationnel et tente de classer les « lignes commensurables » et « incommensurables » (nombres rationnels et irrationnels) entre elles en fonction de leur longueur.
  1. Le livre XI commence l’étude des solidesPrécision en généralisant les propriétés des figures du plan (vues aux livres I à VI) à l’espace.
  2. Le livre XII présente la méthode dite « d’exhaustion » (sorte d’intégration, reprise plus tard par Archimède) et l’applique au calcul des aires et volumes de solides usuels : pyramides, cylindres, sphère, etc. Comme le livre V, il est parfois attribué à Eudoxe6.
  3. Le livre XIII, enfin, traite la construction des cinq polyèdres réguliers de Platon : tétraèdre (4 faces), cube (6 faces, aussi appelé hexaèdre), octaèdre (8 faces), dodécaèdre (12 faces) et icosaèdre (20 faces), en utilisant les résultats du livre X6 et généralise l’usage du nombre d'or à l’espace (« section dorée »)3.

Après Euclide…[modifier]

Avec les Éléments et la méthode axiomatique utilisée, Euclide a influencé pendant longtemps les mathématiques, bien sûr, mais aussi d’autres disciplines et, notamment, la philosophie.

Voir aussi…[modifier]

Notes et références[modifier]

  1. 1,00, 1,01, 1,02, 1,03, 1,04, 1,05, 1,06, 1,07, 1,08, 1,09 et 1,10 Article « Euclide » de l’Encyclopædia Universalis, édition de 1996.
  2. 2,0, 2,1 et 2,2 Euclide d’Alexandrie sur Bibm@th.net.
  3. 3,0, 3,1, 3,2, 3,3 et 3,4 Euclide et Éléments d’Euclide sur Wikipédia.
  4. http://images.math.cnrs.fr/Euclide.html
  5. Euclide de Mégare sur Wikipédia.
  6. 6,0, 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5 et 6,6 Euclide sur math93.com.
  7. Axiome des parallèles sur Wikipédia.
  8. Il faut en effet pouvoir utiliser les fonctions trigonométriques circulaires (géométrie sphérique) ou hyperboliques (géométrie de Lobatchevski), que les anciens Grecs ne connaissaient pas. Pour ces géométries, le postulat modifié serait respectivement : « Par un point extérieur à une droite, il ne passe aucune droite parallèle à cette droite » ou « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite et toutes différentes ».


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