Hollie Little Pink Laptop.jpg
Garçon devant un ordinateur.jpg

Le Livre d'or  • avoir tout Vikidia hors-connexion

Participez à améliorer Vikidia : Pilpay, L'Île au trésor, Sorgho, Chasseur-cueilleur, et 300 autres articles importants et trop courts à compléter. Vos contributions sont les bienvenues !

Théorème de Thalès

Une page de Vikidia, l’encyclopédie junior
Aller à la navigation Aller à la recherche

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie permettant de calculer facilement des rapports de longueurs.

Il est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès, né à Milet (fin du 7e siècle jusqu'au début du 6e siècle avant J.C.). Il est dit que Thalès s'en serait servi pour calculer la hauteur des pyramides d'Égypte, dont la grande pyramide de Khéops, en mesurant leur ombre au sol. Cependant, des résultats similaires étaient connus des Égyptiens et des Babyloniens au début du IIe millénaire av. J.C.

Données du problème[modifier | modifier le wikicode]

Thales theorem 1.png

Soient (d) et (d') deux droites sécantes (qui se croisent) en un point A. Soient B et D deux points distincts (différents) de A appartenant à la droite (d). Soient C et E deux points distincts de A appartenant à la droite (d').

Si les droites (DE) et (BC) sont parallèles, alors on peut affirmer que :

  • [AD] divisé par [AB] est égal à [AE] divisé par [AC] qui est lui aussi égal à [DE] divisé par [BC].

Ce théorème peut alors s'appliquer dans n'importe quel triangle.

Une autre forme[modifier | modifier le wikicode]

On peut prouver que des droites ne sont pas parallèles à partir du théorème de Thalès :

Soient deux droites (d) et (d') sécantes en un point A. Les points B et N (distincts de A) appartiennent à la droite (d), et les points C et M (distincts de A) appartiennent à la droite (d'). On a :

Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ? On suppose alors que l'on se trouve dans une configuration (= situation) du théorème de Thalès :

Il faut établir l'égalité et la vérifier en calculant grâce au produit en croix, tout en utilisant les droites concernées. Si l'égalité est fausse, les droites ne sont pas parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès[modifier | modifier le wikicode]

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et D deux points de la droite (d), distincts de A. Soient C et E deux points de la droite (d'), distincts de A.

Si l'égalité du théorème de Thalès est vérifiée et si les points A, C, E et A, B, D sont dans le même ordre, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Vous connaissez à peu près tout sur le théorème de Thalès : ce qui est difficile, c'est de reconnaître quand on peut utiliser ce théorème.

Ce théorème est étudié à partir de la 4e (théorème de la droite des milieux) et s'approfondit en 3e (en France).

Une application : la géométrie du pentagone régulier[modifier | modifier le wikicode]

Soit ABCDE un pentagone régulier dont la longueur des côtés vaut 1. Comme le montre la figure, on note :

  • A' l'intersection de (BD) et de (CE) ;
  • B' l'intersection de (CE) et de (DA) ;
  • C' l'intersection de (DA) et de (EB) ;
  • D' l'intersection de (EB) et de (AC) ;
  • E' l'intersection de (AC) et de (BD).

La symétrie axiale d'axe la médiatrice du segment [CD] préserve la figure, fixe le point A et envoie C sur D et C' sur D'. Par conséquent, les longueurs AC et AD sont égales ; les longueurs AC' et AD' sont égales. Comme , le théorème de Thalès appliqué aux triangles ACD et AD'C' implique que les droites (CD) et (BE) sont parallèles.

On montre de même que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. Par conséquent, le quadrilatère (CDED') est un parallélogramme. En particulier, ses côtés opposés sont de même longueur : .

On cherche à exprimer la longueur du segment [EB] (une « diagonale » du pentagone régulier). On constate :

par symétrie ;
et donc .

A nouveau, par application du théorème de Thalès aux triangles ACD et AD'C', il vient :

.

Et par conséquent, on obtient :

;

ou encore, après simplification :

.

Cette équation détermine  : c'est le nombre d'or. Le théorème de Thalès a donc été utilisé pour prouver le résultat remarquable suivant :

Le nombre d'or est la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier de côté 1.
Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie, les grands mathématiciens...