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Théorème de Thalès

« Théorème de Thalès » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie permettant de calculer facilement des rapports de longueurs.

Il est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès, né à Milet (fin du 7e siècle jusqu'au début du 6e siècle avant J.C.). Il est dit que Thalès s'en serait servi pour calculer la hauteur des pyramides d'Égypte, dont la grande pyramide de Khéops, en mesurant leur ombre au sol. Cependant, des résultats similaires étaient connus des Égyptiens et des Babyloniens au début du IIe millénaire av. J.C.

Données du problème[modifier]

Thales theorem 1.png

Soient (d) et (d') deux droites sécantes (qui se croisent) en un point A. Soient B et D deux points distincts (différents) de A appartenant à la droite (d). Soient C et E deux points distincts de A appartenant à la droite (d'). Si les droites (DE) et (BC) sont parallèles, alors on peut affirmer que :

  • [AD] divisé par [AB] est égal à [AE] divisé par [AC] qui est lui aussi égal à [DE] divisé par [BC].
Thales.png

Ce théorème peut alors s'appliquer dans n'importe quel triangle. une autre forme :

On peut prouver que des droites ne sont pas parallèles à partir du théorème de Thalès :

Soient deux droites (d) et (d') sécantes en un point A. Les points B et N (distincts de A) appartiennent à la droite (d), et les points C et M (distincts de A) appartiennent à la droite (d'). on a :

 ; ; ; *AB=15 cm ; AC=12 cm
 ; ; ; *AD=24 cm ; AE=20 cm

==> Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ? On suppose alors que l'on se trouve dans une configuration (= situation) du théorème de Thalès :

Il faut établir l'égalité et la vérifier en calculant grâce au produit en croix, tout en utilisant les droites concernées. Si l'égalité est fausse, alors les droites ne sont pas parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès :

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et D deux points de la droite (d), distincts de A. Soient C et E deux points de la droite (d'), distincts de A. Si l'égalité du théorème de Thalès est c = vrai et si les points A, C, E et A, B, D sont dans le même ordre, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Ça y est, vous connaissez à peu près tout sur le théorème de Thalès. Ce qui est difficile, c'est de reconnaître quand on peut utiliser ce théorème. Ce théorème se voit souvent à partir de la 4e (théorème de la droite des milieux) et s'approfondit en 3e (en France), alors ce n'est pas la peine de l'apprendre, vous avez le temps !

Une application : la géométrie du pentagone régulier[modifier]

Soit ABCDE un pentagone régulier dont la longueur des côtés vaut 1. Comme le montre la figure, on note :

  • A' l'intersection de (BD) et de (CE) ;
  • B' l'intersection de (CE) et de (DA) ;
  • C' l'intersection de (DA) et de (EB) ;
  • D' l'intersection de (EB) et de (AC) ;
  • E' l'intersection de (AC) et de (BD).

La symétrie axiale d'axe la médiatrice du segment [CD] préserve la figure, fixe le point A et envoie C sur D et C' sur D'. Par conséquent, les longueurs AC et AD sont égales ; les longueurs AC' et AD' sont égales. Comme AD'/AC=AC'/AD, le théorème de Thalès appliqué aux triangles ACD et AD'C' implique que les droites (CD) et (BE) sont parallèles.

On montre de même que les droites (DE) et (CA) sont parallèles. Par conséquent, le quadrilatère (CDED') est un parallélogramme. En particulier, ses côtés opposés sont de même longueur : 1=CD=D'E.

On cherche à exprimer la longueur l du segment [EB] (une « diagonale » du pentagone régulier). On constate :

l-1=BD'=EC' par symétrie ;
et donc 2-l=D'E-EC'=C'D'.

A nouveau, par application du théorème de Thalès aux triangles ACD et AD'C', il vient :

C'D'=AC'/AD=(l-1) /l.

Et par conséquent, on obtient :

2l-l²=l-1 ;

ou encore, après simplification :

l²=1+l.

Cette équation détermine l : c'est le nombre d'or. Le théorème de Thalès a donc été utilisé pour prouver le résultat remarquable suivant :

Le nombre d'or est la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier de côté 1.

Voir aussi[modifier]

Sur le Web[modifier]


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