Discussion:Fonction exponentielle

Base

Je ne suis pas d'accord : je m'attendais à trouver $a^{x}$ dans la définition... $e^{x}$ n'est qu'un cas particulier correspondant à la base $e$ et à mon avis ce n'est pas le plus simple à comprendre. -- nh2 _{[me contacter]} 1 mars 2010 à 12:08 (UTC)

C'est pourtant toujours par la base e que l'on aborde le concept de fonction exponentielle (dans l'éducation nationale), avant de le généraliser à n'importe quelle autre base. Il me semble que poser d'emblée que « une fonction exponentielle de base a est une fonction définie par $f(x)=e^{x\ln(a)}$ » est une méthode un peu abrupte. Non ? De toute façon, on retombe sur e, alors autant le poser dès le départ. thilp !^? 1 mars 2010 à 14:18 (UTC)

Thilp, tu sais qu'en math, tout se rejoint, et souvent on peut commencer par un bout comme par un autre dans que l'un soit plus juste que l'autre. Par exemple étudier la notion de carré par le calcul numérique ou la géométrie. J'ai vu un site sur l'évolution des programmes de maths de lycée, (j'aimerai bien le retrouver) et on voit qu'on a souvent changé l'ordre de l'apprentissage, en inversant entre deux notions celle qui précédait et permettait de déduire l'autre.

Dans notre cas d'exponentielle, hors cours de maths ou univers très proche des maths, la façon la plus courante d'exprimer une fonction exponentielle, y compris dans des approches scientifiques (biologie par exemple), c'est de parler de doublement tout les tant de temps, puisque c'est plus facile à se représenter qu'une multiplication par 1,5 ; 4 ou 2,7... je ne doute pas que tu sache convertir cela facilement en ae^bx (moi je ne m'en souviens plus tout de suite comme ça ) et que tu préfères l'avoir sous cette forme pour pouvoir faire plein d'opérations dessus ensuite, mais là, ça me parait très prématuré.

Il s'agirait bien plutôt de partir des usages et expressions les plus accessibles d'une fonction exponentielle, et laisser la notation pour la toute fin de l'article.

C'est déjà une découverte de voir qu'une croissance en pourcentage par jour par exemple est de plus en plus rapide en valeur, ou bien que si on enlève régulièrement un tiers d'une quantité de matière, ça peut "durer" jusqu'à l'infini avant qu'il n'y en ai plus... (attend, j'essaye en maths : lim a(2/3)^x x-->oo = 0 c'est ça ?) et si on a déjà perçu ça vers 12-13 ans, on aura un certain bagage pour aborder l'approche formelle au lycée.

À mon avis, c'est à ça qu'il faut s'attacher dans un article de Vikidia sur un sujet de ce niveau, et les notations peuvent venir seulement à la fin, quasiment comme des illustrations, comme tu irai voir un avion après avoir étudié les lois des gaz, sans prétendre maîtriser 1% de la technique qu'ils y a dans cet avion. Astirmays (d) 1 mars 2010 à 15:43 (UTC)

Je suis absolument d'accord avec toi, Astirmays : commencer par les applications concrètes. Je m'y emploie au maximum (enfin, sauf lorsque je suis en vacances). Ici, il n'est pas question de faire un article formel ; et d'ailleurs, toutes les introductions concrètes sont les bienvenues.

Il s'agit simplement de la façon d'introduire, après le concret, le concept formel, mathématique, de l'exponentielle. Amine soulève un point important : il n'y a pas une exponentielle, et n'importe qui peut créer son exponentielle de base <ce-qu'il-veut>. Simplement, à mon goût, il est plus naturel d'aborder ce concept avec l'exponentielle la plus utilisée, celle de base e. C'est d'ailleurs celle-ci qui sert pour les lois de décomposition radioactive, si ma mémoire est bonne : voilà une idée d'approche concrète !

« $f(x)=e^{x\ln(a)}$ » était justement pour montrer que la façon d'exprimer les exponentielles de base $a\neq e$ nécessite de parler de l'exponentielle de base e, raison pour laquelle j'avais choisi de commencer par l'exponentielle de base e, quitte à la présenter comme la fonction exponentielle. Parce que « $f(x)=e^{x\ln(a)}$ », ça me semble compliqué pour des 8-13 ans.

$\lim _{x\to \infty }a\left({\frac {2}{3}}\right)^{x}=0,\left(\forall a\in \mathbb {K} \right)$, oui. N'a-t-on pas assez pleuré après la balise <math> ? thilp !^? 1 mars 2010 à 22:32 (UTC)

Thilp, pourquoi définir "d'emblée" l'exponentielle d'une manière si compliquée ? Je sais, c'est comme ça que j'ai fait connaissance avec elle au lycée... Mais si justement on n'en parle pas tout de suite comme ça, et si, comme le dit Mathieu, on l'expliquait de manière plus intuitive. Je trouve que l'approche présentée au début de l'article de Wikipédia (contrairement à l'approche plus classique de Wikiversité) est meilleure : elle ne part pas de l'exponentielle népérienne mais de la puissance pour arriver à l'exponentielle de base a. Il faut donc que l'enfant commence par comprendre ce qu'est une puissance, ce qui n'est pas trop dur, et faire la transition en douceur... non ? Mais on ira par la suite vers des notions plus compliquées comme la base e et on pourra ensuite redéfinir ce qu'on avait présenté intuitivement en utilisant l'approche classique... L'enfant qui n'aura pas pu suivre jusqu'au bout (et il risque d'y en avoir beaucoup dans la tranche d'âge 8-13 ans) aura au moins acquis la compréhension intuitive. -- nh2 _{[me contacter]} 1 mars 2010 à 23:11 (UTC)

Si tu y parviens, aucun problème. J'ai toujours trouvé mon ébauche trop compliquée. thilp !^? 2 mars 2010 à 12:58 (UTC)