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Bijection

« Bijection » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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L'ensemble A est l'ensemble des points rouges dans la zone jaune.
L'ensemble B est l'ensemble des points verts dans la zone bleue.
Les traits montrent comme associer à chaque point de A un point de B. Ils décrivent une bijection entre A et B.

Une bijection est une application (ou fonction) d'un ensemble A vers un ensemble B qui est à la fois injective et surjective ; c’est-à-dire une application telle qu’à chaque élément de B correspond un unique élément de A.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

  • on appelle f une fonction qui « part » de A et « arrive » dans B,
    c’est-à-dire que, si a est un élément de A, f(a) est un élément de B ;
  • si, pour n’importe quel élément y de l’ensemble B, il existe un unique élément x de A qui vérifie la relation : f(x) = y, alors f est une bijection.

En langage de la logique mathématique, cela se traduit par :

{{{contenu}}}

C’est la définition de la bijectivité d’une fonction f.

Fonction réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Si une fonction f est une bijection, alors il existe une autre fonction (que l’on note g) qui fait en quelque sorte « l’inverse » de f. Par exemple, si l’on a f(x) = y, alors g(y) = x. Cette fonction g s’appelle la fonction réciproque (ou bijection réciproque) de f et on la note donc f-1 (sur les nombres, « a-1 » signifie « inverse de a »).

La propriété caractérisant la bijection réciproque est :

{{{contenu}}}

ce qui signifie :

une bijection composée à sa réciproque égale la fonction identité ;

c’est-à-dire :

La fonction exponentielle (en bleu) et sa réciproque (logarithme, en vert) sont symétriques par rapport à la première bissectrice (en pointillés gris).
f-1(f(x)) = x.

On constate que les courbes d’une bijection et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à une droite. Cette droite s’appelle « première bissectrice du plan » et représente de la fonction identité (elle a en effet pour équation y = x).

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

  • l'application identité, notée id : A A, qui à x fait correspondre le même x, est bijective ;
  • les applications logarithme et exponentielle sont bijectives, et chacune est la bijection réciproque de l’autre ;
  • l'application f : x 2 n'est pas bijective car 0 n'a pas d'antécédent par f : en effet, il n’existe aucun x tel que f(x) = 0, puisque f transforme toutes les valeurs en 2.
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