Fonction logarithme népérien

Courbe représentative de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée $x\mapsto ln(x)$, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle notée $x\mapsto e^{x}$. C'est une fonction croissante tendant vers l'infini, définie sur l'ensemble des nombres réels non nuls ($\mathbb {R} _{+}^{*}$).

Quelques propriétés

• Pour tout réel $x$, $ln(e^{x})=x$ : La fonction logarithme népérien étant la réciproque de la fonction exponentielle, une composition des deux se "compense". Ainsi, de même, pour tout réel strictement positif $x$, $e^{ln(x)}=x$.
• Pour tout $\upsilon$ réel strictement positif, $-ln(\upsilon )=ln\left({\frac {1}{\upsilon }}\right)$ : L'opposé du logarithme est égal au logarithme de l'inverse.
• Pour tout $x$ et $y$ réels strictement positifs, $ln(xy)=ln(x)+ln(y)$ : le logarithme des produits est la somme des logarithmes
• Pour tout $x$ et $y$ réels strictement positifs, $ln(x)-ln(y)=ln\left({\frac {x}{y}}\right)$ : la différence des logarithmes est égale au logarithme du quotient.
• Pour tout $x$ réel strictement positif, $ln(x^{n})=nln(x)$ avec n un entier relatif.

Dérivée

La dérivée du logarithme népérien est (notation du secondaire) :
$\forall {x}\in \mathbb {R} ^{+*},\quad (ln(x))'={\frac {1}{x}}$

Sa dérivée est positive sur son ensemble de définition, alors la fonction $ln$ est croissante.

Dérivée logarithmique

Pour une fonction composée du logarithme, la dérivée de cette fonction est la suivante, sur son domaine de définition :

$(ln(u))'={\frac {u'}{u}}$

Primitive

La primitive du logarithme népérien est :
$\int ln(x)\;\mathrm {d} x=xln(x)-x$

Logarithme de base a

Courbe représentative de la fonction logarithme décimal

Le lien avec la fonction logarithme de base a est le suivant : $\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

En particulier, pour le logarithme de base 10, communément appelé le logarithme décimal, on a : $\log _{10}(x)=\log(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}$. Le logarithme décimal est souvent utilisé dans les calculs, dans le domaine de la chimie par exemple on peut écrire $\log(x)$ au lieu de $\log _{10}(x)$ car on sait ce qu'on calcule.

Application en chimie

Le pH (potentiel hydrogène) d'une solution aqueuse se calcule par la formule suivante : $\mathrm {pH} =-\log {\big [}\mathrm {H} _{3}\mathrm {O} ^{+}{\big ]}$ avec $[\mathrm {H} _{3}\mathrm {O} ^{+}{\big ]}$ la concentration de $\mathrm {H} _{3}\mathrm {O} ^{+}$.

Le logarithme décimal est très présent dans la chimie des solutions aqueuses.

En oxydoréduction, le logarithme décimal intervient dans la Formule de Nernst, qui permet de calculer le potentiel standard d'un couple redox.

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