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Nombre
Le nombre est une notion permettant de compter et d'estimer des quantités ou des grandeurs. On l'écrit avec un ou plusieurs signes appelés chiffres.
Depuis que les mathématiques existent, on a inventé plusieurs sortes de nombres qui permettent d'indiquer des quantités et de faire des calculs qu'on ne peut pas faire autrement.
Nombres et ensembles
- Les bébés et très jeunes enfants qui ne connaissent pas les nombres semblent reconnaître quand même les quantités 1, 2 et 3. C'était probablement aussi le cas des premiers hommes. Dans ce cas, au-dessus de 3, il y a beaucoup, très beaucoup, etc. mais sans utiliser de nombre, on ne peut pas dire exactement combien.
- Les premiers nombres inventés sont ceux qui peuvent servir à compter n'importe quelle quantité d'objets ou de personnes. On les appelle des nombres entiers naturels ;
- Ensuite, on a utilisé des nombres qui permettent de dire une quantité qui est une partie d'une chose, (donc pas forcément une ou plusieurs choses entières) comme la moitié, le tiers, les trois quarts ou bien aussi trois moitiés. Ce sont les nombres rationnels positifs ; ce qui veut dire qu'ils peuvent s'écrire sous forme de fractions, ce qui permet de dire n'importe quelle quantité qui vient d'un partage, comme 3/26, qui veut dire 3 parts de quelque-chose qu'on divise (ou qu'on imagine de diviser) en 26 part égales.
- On a ensuite imaginé des nombres négatifs ; regroupés avec les nombres entiers naturels (donc positifs), ils forment l'ensemble des nombres entiers ;
- De la même façon, les nombres rationnels peuvent être positifs ou négatifs. Cela peut servir pour donner une date, s'il y a une année qui est choisie comme la première, et qu'on veut parler des années d'avant. Cela sert aussi pour des altitudes, puisque le niveau de la mer est choisi comme d'altitude 0, pour parler de ce qui est plus bas (fond de la mer, par exemple)
- En utilisant la virgule dans le système décimal, on peut écrire des nombres décimaux, qui font partie des nombres rationnels, et permettent de faciliter certains calculs et comparaisons
- Il est apparu que certains nombres comme pi devraient être écrits avec un nombre infini de chiffres après la virgule, et ne peuvent pas s'écrire non plus sous forme de fraction. On les appelle les nombres irrationnels, et avec tous les nombres précédents, ils forment l'ensemble des nombres réels.
- Ensuite, des mathématiciens ont eu besoin d'imaginer une sorte supplémentaire de nombres, les nombres complexes.
Récapitulons :
Il existe en mathématiques plusieurs ensembles de nombres. Ce sont en fait des catégories dans lesquelles les mathématiciens classent les nombres.
Ce sont :
- l'ensemble des entiers naturels (symbolisé par la lettre ℕ) : 0,1,2,3,4, ...
- l'ensemble des entiers relatifs (symbolisé par la lettre ℤ) : -2,-1,0,1,2, ...
- l'ensemble des nombres décimaux (symbolisé par la lettre D) : -1.5, 23, 558.4456632, ...
- l'ensemble des nombres rationnels (tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers ; symbolisé par la lettre ℚ) : 1/3, 2, 78.9, 2.63888888888888888... (=95/36), ...
- l'ensemble des nombres réels (symbolisé par la lettre ℝ) : tous les nombres qui peuvent, par exemple, désigner une longueur : 1/3, √2, π (« pi »), 2, ...
En plus de ceux-ci, on a inventé l'ensemble des nombres complexes (symbolisé par la lettre ℂ) : i
 Le savais-tu ?
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| Inclusions | ||
| Une inclusion est un objet mathématique qui permet de dire qu'un ensemble de nombres se trouve dans un autre ensemble de nombres, plus vaste. L'inclusion se note ⊂. On dit : ℕ⊂ℤ⊂D⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ Ce qui veut dire que les nombres entiers naturels sont tous aussi des nombres entiers relatifs, qui eux-mêmes sont tous des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels qui font partie des nombres complexes. Mais si on le dit dans l'autre sens, cela n'est pas vrai, comme de dire cette feuille est dans mon classeur ne veut pas dire mon classeur est dans cette feuille. | ||
Particularités
Les nombres peuvent aller jusqu'a l'infini !
Nombres premiers
Parmi ces nombres, plusieurs ont des particularités, comme les nombres premiers.
Un nombre premier est un nombre que l'on ne peut diviser que par lui-même et par 1 pour avoir comme résultat un nombre entier. Par exemple, 11, qui est un nombre premier, ne peut se diviser que par 11 (ce qui donne 1) ou 1 (ce qui donne 11), car sinon, on n'obtient que des résultats « à virgule » :
- 11 / 2 = 5,5 (appartient à D) ;
- 11 / 3 = 3,666666666... (à ℚ) :
- 11 / 4 = 2,75 (à D) ;
- 11 / 5 = 2,2 (à D) ;
etc.
On voit bien qu'aucun des résultats obtenus n'appartient à l'ensemble des entiers (ℕ ou ℤ).
Nombres Univers
Un nombre Univers est un nombre irrationnel (qui a une infinité de chiffres après la virgule) dans lequel on peut retrouver n'importe quelle suite de nombres (finie). Par exemple, quelle que soit votre date d'anniversaire, ou le nombre de virus de la grippe dans le monde, vous pourrez toujours retrouver ce nombre dans un nombre Univers.
Les mathématiciens n'ont pas encore prouvé que π (« pi »), qui possède un nombre infini de décimales, est un nombre Univers, ce qui montrerait la chose suivante :
- un nombre Univers a toujours un nombre infini de décimales
- mais un nombre qui possède une infinité de décimales n'est pas forcément un nombre Univers
Le nombre d'or
Les architectes grecs de l'Antiquité croyaient que certains nombres avaient des propriétés presque « magiques » : par exemple, ils utilisaient très souvent le nombre d'or dans leurs constructions, car ils pensaient que ce nombre rendait beau toute chose qui en avait les dimensions. On retrouve dans ce cas le Parthénon, temple grec de l'Acropole d'Athènes, dont la base a les dimensions d'un rectangle d'or.
Mais qu'est-ce que ce nombre d'or ? Il est noté φ (« phi », se prononce fi) et sa valeur est : (1+√5) /2, ce qui est proche de 1,618034.
Racine carrée de deux
La racine carrée de deux, notée √2, est un nombre remarquable en mathématiques qui vaut environ 1,4142... √2 est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2.
Le nombre se retrouve souvent dans la vie courante. Par exemple :
- Si un carré a comme ses côtés de longueur 1 sa diagonale a une longueur de √2.
- Les feuilles de papier européennes au format standard (dont le plus courant est le format A4) ont des dimensions où la longueur est égale à la largeur multipliée par √2 (par exemple 21 cm et 21 x √2 = 29,7 cm). C'est le seul nombre qui utilisé comme cela (relation de proportionnalité) permet qu'en coupant une feuille dans la largeur en deux parties égales, les feuilles obtenues aient les mêmes proportions, donc la même forme en plus petit.
√2 est un nombre réel, mais ce n'est pas un nombre rationnel, donc c'est un nombre irrationnel.
Notation
Il existe des façons spéciales de noter et de dire les nombres très grands, comme la notation scientifique ; voir aussi l'article sur la lecture des grands nombres.
Attention !
Attention, un nombre n'est pas la même chose qu'un chiffre. Un nombre est deux ou plusieurs chiffres ensemble.
Exemple
Par exemple : 64 sont les deux chiffres 6 et 4. Ou même 298 sont les chiffres 2, 9 et 8
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