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Nombre d'or

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La première série de gradins du théâtre d'Épidaure a 34 gradins, la seconde en a 21 : leur rapport 34/21 est une valeur approchée du nombre d'or.

Le nombre d'or est un nombre très particulier, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec, en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon.

Le nombre d'or vaut 1,618... et beaucoup de décimales (ça ne finit jamais).

Son carré est égal à lui-même plus un, soit 2,618... (toutes les décimales sont les mêmes) et son inverse est égale à lui-même moins un, soit 0,618... avec les mêmes décimales aussi.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Par définition, le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré .

Il est égal à .

C'est donc un rapport (Numérateur/dénominateur), une proportion.

On vérifie facilement que φ x φ = φ + 1 ainsi que φ = 1 + 1/φ.

Rectangle d'or[modifier | modifier le wikicode]

Construction du rectangle d'or à partir d'un carré

Un rectangle d'or est un rectangle qui a pour côtés 1 et φ (peu importe l'unité de mesure utilisée) :

En fractionnant ce rectangle en un carré et un rectangle, on obtient encore un rectangle d'or :

En recommençant cette démarche, on obtient encore des rectangles d'or de plus en plus petits.


Le savais-tu.png
Le savais-tu ?
Le nombre d'or est-il partout ?
Au XVe siècle, un religieux et mathématicien italien, Luca Pacioli, découvrant dans ce nombre de nombreuses propriétés arithmétiques, l'avait appelé « divine proportion ». On l'utilise même (mais pas seulement lui) dans des calculs très complexes. Il est parfois présent dans le règne végétal. Les avis sont très partagés à son sujet, parfois même très opposés. On peut lui trouver une qualité d'harmonie, et certains fantasment trop dessus, le "voyant un peu partout". D'autres, pour s'opposer aux premiers, font tout au contraire pour en parler le moins possible. On peut bien sûr, à l'aide d'un bon livre (voir Bibliographie), s'amuser à faire des calculs avec ce nombre aux propriétés bizarres, mais il vaut mieux quand même rester mesuré, « ne pas trop en faire », car il y a un risque de trop s'évader de la réalité (un peu d'ailleurs comme avec l'astronomie).

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

  • Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, Éditions PUF, collection Que sais-je ? (Ce livre suppose un niveau mathématique de la classe de 3e).

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Certains architectes, comme Le Corbusier, s'appuient dans leurs études sur le nombre d'or.

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