Nombre d'or

Nombres

• Entiers
• Relatifs
• Décimaux
• Premiers
• Rationnels
• Irrationnels
• Réels
• Complexes

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• Nombre π
• Nombre d’or

La première série de gradins du théâtre d'Épidaure a 34 gradins, la seconde en a 21 : leur rapport 34/21 est une valeur approchée du nombre d'or.

Le nombre d'or est un nombre très particulier, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec, en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon.

Le nombre d'or vaut 1,618... et beaucoup de décimales (ça ne finit jamais).

Son carré est égal à lui-même plus un, soit 2,618... et son inverse est 0,618... avec les mêmes décimales.

Définition

Par définition, le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation du second degré $x^{2}-x-1=0$.

Il est égal à $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

C'est donc un rapport (Numérateur/dénominateur), une proportion.

On vérifie facilement que φ x φ = φ + 1 ainsi que φ = 1 + 1/φ.

Rectangle d'or

Construction du rectangle d'or à partir d'un carré

Un rectangle d'or est un rectangle qui a pour côtés 1 et φ (peu importe l'unité de mesure utilisée) :

En fractionnant ce rectangle en un carré et un rectangle, on obtient encore un rectangle d'or :

En recommençant cette démarche, on obtient encore des rectangles d'or de plus en plus petits.

		Le savais-tu ?
	Le nombre d'or est-il partout ?
Au XVe siècle, un religieux et mathématicien italien, Luca Pacioli, découvrant dans ce nombre de nombreuses propriétés arithmétiques, l'avait appelé « divine proportion ». On l'utilise même (mais pas seulement lui) dans des calculs très complexes. Il est parfois présent dans le règne végétal. Les avis sont très partagés à son sujet, parfois même très opposés. On peut lui trouver une qualité d'harmonie, et certains fantasment  trop dessus, le "voyant un peu partout". D'autres, pour s'opposer aux premiers, font tout au contraire pour en parler le moins possible. On peut bien sûr, à l'aide d'un bon livre (voir Bibliographie), s'amuser à faire des calculs avec ce nombre aux propriétés bizarres, mais il vaut mieux quand même rester mesuré, « ne pas trop en faire », car il y a un risque de trop s'évader de la réalité (un peu d'ailleurs comme avec l'astronomie).

Bibliographie

• Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, Éditions PUF, collection Que sais-je ? (Ce livre suppose un niveau mathématique de la classe de 3^e).

Voir aussi

Certains architectes, comme Le Corbusier, s'appuient dans leurs études sur le nombre d'or.

Lien externe

• Le nombre d'or. Ekopedia.

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