Rectangle

« Rectangle » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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Un rectangle tracé à la main

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Dans un rectangle ABCD,

  • Les quatre angles sont droits ;
  • Les côtés opposés sont parallèles et ont les mêmes longueurs ;
  • Les côtés opposés ont la même médiatrice ;
  • Les diagonales et les médiatrices s'intersectent en leurs milieux ;
  • Ce point d'intersection O est un centre de symétrie ;
  • Les médiatrices sont des axes de symétrie.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le wikicode]

  • Un quadrilatère qui possède trois angles droits est un rectangle.
  • Un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur et s'intersectent en leur milieu est un rectangle.

Périmètre et aire[modifier | modifier le wikicode]

  • L'aire d'un rectangle dont les côtés ont pour longueurs a et b est : [math]a\times b[/math].
  • La formule du périmètre est : [math]P=2(L+l)[/math]


Exemple : Un rectangle fait 8 cm de longueur sur 3 de largeur :

  • Aire : [math]8\times 3 = 24 cm^2[/math].
  • Périmètre : [math]2(8+3) = 11\times2 = 22 cm[/math].

Questions :

  • Pour quels rectangles l'aire est supérieure à l'aire de tout rectangle de même périmètre ?
  • Pour quels rectangles le périmètre est-il inférieur au périmètre de tout rectangle de même aire ?

Réponses : Dans les deux cas, les carrés !

  • Si un rectangle de côtés de longueur a et b a pour périmètre 2d, alors [math]b=d-a[/math]. Donc, son aire vaut [math]a(d-a)[/math]. Par l'inégalité arithmético-géométrique, l'aire est inférieure à [math]\frac{d^2}{4}[/math]. et strictement inférieure si a et [math]b=d-a[/math] sont inégaux.
  • Si un rectangle de côtés de longueur a et b a pour aire A, alors [math]b=\frac{A}{a}[/math]. Donc son périmètre vaut [math]\frac{A+a}{a}[/math] ; il est inférieur à [math]2\sqrt{A}[/math], et est strictement inférieur si a et b sont inégaux.


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