Relativité restreinte

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Albert Einstein en 1904 ou 1905.

La théorie de la relativité restreinte a été formulée par Albert Einstein en 1905. Elle prend en compte 2 phénomènes contradictoires qui étaient connus avant lui :

• La loi de composition des vitesses de la relativité galiléenne qui revient à faire une addition ou une soustraction,
• l'invariance  de la vitesse de la lumière.

Plus précisément d'après la relativité galiléenne :

• Lorsque 2 objets observés depuis un point fixe se déplacent dans la même direction mais en sens opposé, leur vitesse relative l'un par rapport à l'autre se calcule en additionnant les 2 vitesses mesurées depuis le point fixe. C'est la loi de composition des vitesses.
• Si ces 2 objets se déplacent dans la même direction et dans le même sens, leur vitesse relative l'un par rapport à l'autre se calcule en soustrayant entre elles les 2 vitesses mesurées depuis le point fixe.

Mais par contre :

• Si on mesure la vitesse de la lumière, d'abord en étant immobile par rapport à la source de lumière, puis en se rapprochant de cette source, et enfin en s'en éloignant, on trouve dans les trois cas la même vitesse.

Ce qui est contraire à la relativité galiléenne.

Un des effets surprenants de la relativité restreinte est que le temps s'écoule à une vitesse différente pour nous et pour un objet qui se déplace par rapport à nous.

Cette théorie englobe aussi le principe d'équivalence masse énergie avec la formule célèbre E=mc², mais ce point fait l'objet d'un article séparé.

Expériences de physiques ayant conduit à la théorie de la relativité restreinte

Reconstitution de l'appareil de Michelson et Morley.

Expérience de Michelson et Morley.

Einstein n'a pas imaginé comme un dogme mathématiques arbitraire les principes de la relativité à partir de rien, mais il a unifié des résultats expérimentaux étranges et expliqués de façon partielle bien avant lui, comme les transformations de Lorentz.

Il a compris et rendu cohérents avec des principes fondamentaux nouveaux sur l'espace et le temps, de nombreuses observations expérimentales faites entre les années 1800 et 1904, très difficiles à expliquer avant lui.

Il a mis en évidence :

• Le principe que la vitesse de la lumière c reste constante quelque soit la vitesse à laquelle on se déplace qui est en totale contradiction avec les lois du mouvement de Newton établies par Newton vers 1680 et la relativité galiléenne.

• Toute mesure physique avec des vitesses v très élevées, même d'atomes, avant 1905 a des effets relativistes cachés presque incompréhensibles. L'électromagnétisme résumé dans les équations de Maxwell est relativiste de façon quasi évidente.

La Lumière identique à une onde d'après Augustin Fresnel avait conduit après les années 1814 à 1818 à rechercher un support pour sa propagation appelé éther, par analogie avec les ondes sonores qui se propagent dans la matière, mais pas dans le vide.

Partant du principe de la Terre tourne autour du soleil, elle ne se déplace pas toujours dans la même direction par rapport au reste de l'univers et devrait donc aussi se déplacer par rapport à un éther supposé immobile. Mais toutes les tentatives pour mesurer la vitesse de déplacement par rapport à cet éther ont échoué. En particulier les expériences de Michelson et Morley entre 1881 et 1887 n'ont montré aucune vitesse de ce support éther.

Hendrik Lorentz en 1895 et 1892 à partir de l'électromagnétisme des équations de Maxwell a établi des lois de transformation pour les champs électriques et magnétiques et a constaté que les longueurs et le temps écoulé changent. Il a écrit les transformations de Lorentz, des équations qu'Einstein à expliqué complétement.

Henri Poincaré en 1904 a déduit des transformations de Lorentz qu'aucun observateur ne peut dépasser la vitesse de la lumière.

La parabole des géomètres

Avant d'expliquer en quoi consiste la relativité restreinte, le livre À la découverte de l'espace temps et de la physique relativiste de E.F Taylor et J.A Wheeler commence par raconter l'histoire de deux géomètres imaginaires.

Coordonnées géographiques des points A et B de la ville dans le référentiel du géomètre Diurne.

Il y a très longtemps, dans une ville, il y avait deux géomètres.

Diurne

Le premier s'appelait Diurne. Il se levait le matin, travaillait dans la journée et se couchait le soir.

Son travail consistait à mesurer et à enregistrer la position des différents bâtiments, des arbres et des autres éléments de la ville. Pour le faire, il avait choisi comme point de départ de ses mesures le centre de la fontaine qui était située au milieu de la ville.

À partir de ce point de repère, il mesurait une première distance par rapport à une ligne droite orientée de l'ouest à l'est. Cette distance était un nombre positif si le point à mesurer était plus à l'est que le centre de la fontaine et un nombre négatif si le point à mesurer était plus à l'ouest que le centre de la fontaine.

Il mesurait de la même manière une deuxième distance par rapport à une ligne droite orientée du sud au nord. Cette distance était un nombre positif si le point à mesurer était plus au nord que le centre de la fontaine et un nombre négatif si le point à mesurer était plus au sud que le centre de la fontaine.

Diurne utilisait une boussole pour chercher le nord magnétique de la Terre. L'axe ouest-est faisait un angle droit avec l'axe nord-sud qu'il trouvait avec sa boussole.

Pour mesurer les distances d'ouest en est, il utilisait comme unité de longueur le mètre.

Pour mesurer les distances du sud au nord, il utilisait comme unité de longueur le mille (1 609 m).

Nocturne

Coordonnées géographiques des points A et B de la ville dans le référentiel du géomètre Nocturne.

Le deuxième géomètre s'appelait Nocturne. Il ne se levait qu'en fin d'après midi, voire une fois la nuit tombée en plein hiver, travaillait en pleine nuit et se couchait le matin suivant.

Il faisait le même type de travail que Diurne et avait lui aussi choisi comme point de départ de ses mesures le centre de la fontaine qui était située au milieu de la ville.

Comme Diurne, il mesurait des distances en mètres sur un axe orienté d'ouest en est et des distances en milles sur un axe orienté du sud au nord.

Nocturne localisait dans le ciel l'étoile polaire pour trouver la direction du nord. L'axe ouest-est faisait un angle droit avec l'axe nord-sud qu'il trouvait à partir de l'étoile polaire.

L'école des géomètres

Dans la ville, il y avait une école. Diurne y enseignait son métier de géomètre et les élèves de Diurne étaient très satisfaits de leur professeur. À d'autres heures, Nocturne enseignait aussi son métier de géomètre dans cette école et les élèves de Nocturne étaient eux aussi très satisfaits de leur professeur.

Par contre, si on interrogeait longuement un élève de cette école, aucun n'était capable en toute honnêteté de comparer les enseignements des deux professeurs puisqu'il n'avait suivi que ceux de l'un d'entre eux.

Comparaison des enseignements des deux géomètres

Coordonnées géographiques des points A et B de la ville dans les référentiels des deux géomètres.

Un jour, un étudiant très travailleur qui n'avait pas réussi en se renseignant à choisir le meilleur des deux géomètres a décidé de s'inscrire aux cours des deux à la fois (il ne devait plus lui rester beaucoup de temps pour dormir).

Après quelques mois de cours, il trouva que les enseignements des deux géomètres étaient tous les deux de qualité, mais un point le surprenait tout de même : Diurne comme Nocturne mesuraient les distances du sud au nord en miles et celles d'ouest en est en mètres. Il pensa que ce serait plus simple d'utiliser la même unité de longueur dans les deux direction et choisit de convertir en mètres les distances mesurées du sud au nord. Pour cela, il suffisait de multiplier la distance en miles par 1 609.

Cet étudiant compara alors les mesures obtenues pour différents points de la ville. À part pour le centre de la fontaine pour lequel les deux géomètres donnaient les coordonnées (0, 0), tous les autres points donnaient des valeurs différentes pour leurs coordonnées (x, y).

Ces valeurs différentes obtenues par les mesures des deux géomètres s'expliquent facilement. L'aiguille aimantée d'une boussole n'indique pas exactement le nord. En effet, le nord magnétique de la terre ne passe pas pile par les pôles (et d'ailleurs son orientation varie au fil des années). De même, si l'étoile polaire est une étoile relativement brillante située dans le prolongement de l'axe de rotation de la terre sur elle même, elle n'est pas exactement alignée avec l'axe de rotation de la terre. Du reste, l'orientation de l'étoile polaire par rapport au véritable nord varie légèrement au cours des siècles.

En conséquence, entre l'orientation nord-sud obtenue par la méthode de Diurne et celle obtenue par la méthode de Nocturne, il y a une rotation de quelques degrés.

Cet étudiant qui avait appris le théorème de Pythagore qui faisait partie des enseignement donnés par les deux géomètres eut alors l'idée de calculer la distance entre différents points de la ville et le centre de la fontaine et de comparer les résultats obtenues avec les mesures des deux géomètres.

Détail des calculs

Le point A du graphique a comme coordonnées

• (x_AD, y_AD) en mesurant sa position par la méthode de Diurne,
• (x_AN, y_AN) en mesurant sa position par la méthode de Nocturne.

Pour le point B, c'est pareil :

• (x_BD, y_BD) par la méthode de Diurne,
• (x_BN, y_BN) par la méthode de Nocturne.

L'étudiant constata pour le point A que : $\sqrt{x_{AD}^2+y_{AD}^2}=\sqrt{x_{AN}^2+y_{AN}^2}$

De même pour le point B : $\sqrt{x_{BD}^2+y_{BD}^2}=\sqrt{x_{BN}^2+y_{BN}^2}$

Quelque soit le point de la ville pour lequel il faisait un essai, il constatait qu'en additionnant les carrés des coordonnées du point mesuré par la méthode de Diurne et ceux mesurés par la méthode de Nocturne, il arrivait au même résultat.

Il eut alors l'idée de calculer de la même manière la distance entre deux points quelconques de la ville.

Détail des calculs pour la distance entre le point A et le point B

$distance=\sqrt{(x_{BD}-x_{AD}{)}^2+(y_{BD}-y_{AD}{)}^2}=\sqrt{(x_{BN}-x_{AN}{)}^2+(y_{BN}-y_{AN}{)}^2}$

Là encore qu'on utilise le référentiel de Diurne dans lequel l'orientation du nord est fixée par l'aiguille d'une boussole ou le référentiel de Nocturne dans lequel l'orientation du nord est fixée par l'étoile polaire, on obtient le même résultat bien qu'on manipule 4 nombres différents pour faire le calcul.

L'étudiant en conclut que la distance entre 2 points de la ville est indépendante du référentiel qui permet de déterminer leur position sous la forme de coordonnées de type (x, y). En conséquence, les enseignements de Diurne et ceux de Nocturne étaient du même niveau de qualité. En utilisant 2 référentiels différents qui entraînaient des distances sud-nord et ouest-est mesurées différentes, ces deux géomètres arrivaient finalement au même résultat lorsqu'il s'agissant de calculer la distance en ligne droite entre 2 points de la ville.

Quel rapport entre la parabole des géomètres et la relativité restreinte ?

Dans la parabole des géomètres, on peut calculer facilement la distance entre un point de la ville et le centre de la fontaine si on connaît la position du point à la fois sur un axe orienté du sud au nord et sur un axe orienté de l'ouest à l'est. Il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore.

Mais dans la parabole des géomètres, les orientations sud-nord et ouest-est sont mesurées avec des unités différentes, comme si un déplacement dans le sens sud-nord ou nord-sud n'avait aucun rapport avec un déplacement dans le sens ouest-est ou est-ouest.

Pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore, il faut commencer par exprimer les distances sud-nord et ouest-est dans la même unité.

De la même manière, nous considérons habituellement l'écoulement du temps et les déplacements dans l'espace comme des choses différentes. Nous utilisons donc des unités différentes pour mesurer le temps et pour mesurer les distances.

• pour mesurer l'écoulement du temps, ont emploie la seconde comme unité,
• pour mesurer les distances, ont emploie le mètre.

Triangle relativiste. Si un objet se déplace par rapport à nous et parcourt la distance d pendant le temps t, pour cet objet, il ne s'écoule que le temps t'.

Mais dans la théorie de la relativité restreinte tout comme dans celle de la relativité générale, l'espace et le temps sont liés. Si quelque-chose se déplace par rapport à nous, en contrepartie, le temps pour cet objet qui se déplace et pour ce qu'il contient si c'est un véhicule, s'écoule moins vite que le notre.

C'est ce que montre le dessin du triangle relativiste. Pendant le temps t un objet parcourt la distance d par rapport à nous. Mais pour cet objet qui se déplace, le temps qui s'écoule est le temps t'.

En examinant le dessin qui est celui d'un triangle rectangle, on peut deviner que si on connaît 2 valeurs parmi t, d et t', on peut calculer la troisième en utilisant le théorème de Pythagore. En effet :

t² = d² + t'²

Mais pour que le calcul fonctionne, il faut que les 3 valeurs soient exprimées dans la même unité.

• pour les durées t et t', on va utiliser la seconde comme unité,
• pour la distance d, si l'unité de longueur choisie correspond à la distance que parcourt la lumière (dans le vide) en une seconde, le calcul marchera.

Or, il se trouve qu'en une seconde, dans le vide, la lumière se déplace exactement de 299 792 458 m (presque 300 000 km). Le mètre qui a d'abord été la longueur d'une barre métallique de référence conservée à température constante puis un multiple de la longueur d'onde d'un rayon lumineux particulier est à présent défini à partir de la vitesse de la lumière dans le vide.

On peut donc exprimer :

• les durées t et t' en seconde,
• la distance d en seconde lumière.

La contraction du temps

À partir de la formule $t^2=d^2+t{\text{'}}^2$, on peut calculer $\frac{t^{\prime }}{t}$ en fonction de la vitesse de déplacement de l'objet par rapport à nous.

Détail du calcul de la formule

t² = d² + t'²

Pour calculer t'², on soustrait d² des 2 cotés :

t'² = t² - d²

Si les durées sont en secondes, la distance doit être en seconde lumière. Mais la distance est aussi la vitesse multipliée par le temps. On a donc :

$d=\frac{v}{c}t$

En remplaçant d dans la formule précédente :

$t{\text{'}}^2=t^2-(\frac{v}{c}t{)}^2$

On divise par t² des deux cotés :

$\frac{t{\text{'}}^2}{t^2}=\frac{t^2}{t^2}-\frac{(\frac{v}{c}t{)}^2}{t^2}$

On simplifie les divisions qui apparaissent au numérateur et au dénominateur :

$(\frac{t^{\prime }}{t}{)}^2=1-(\frac{v}{c}{)}^2$

$(\frac{t^{\prime }}{t}{)}^2=1-\frac{v^2}{c^2}$

En prenant la racine carrée, on arrive finalement à la formule :

$\frac{t^{\prime }}{t}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Une représentation possible d'un diagramme espace-temps. Si on se déplace à une vitesse non négligeable par rapport à celle de la lumière, le temps s'écoule moins vite.

C'est la formule de Lorentz.

Le graphique à droite généralise ce qu'on a vu avec le triangle relativiste.

• L'axe vertical représente le temps écoulé,
• l'axe horizontal représente la distance parcourue (en secondes lumière si le temps est en secondes)
• les coordonnées (0, 0) correspondent à ce qu'il y a ici maintenant.

Au début, on se trouve au point (0, 0) du graphique, c'est à dire au point d'intersection de son axe horizontal et de son axe vertical.

Un peu plus tard, tout ce qui nous entoure et qui se trouvait en (0, 0) auparavant se trouve à présent quelque part sur l'arc de cercle dessiné en bleu.

Deux cas particuliers se présentent :

1. Objets immobiles par rapport à nous. Leur nouvelle position est plus haut dans le graphique toujours sur l'axe vertical puisqu'il n'y a eu aucun déplacement dans l'espace.
2. Rayon lumineux qui se déplace dans le vide. Le temps ne s'écoule plus à la vitesse de la lumière. Notre rayon lumineux s'est donc déplacé sur l'axe horizontal du graphique pour atteindre le point où l'arc de cercle en bleu rejoint l'axe horizontal.

Il reste le cas des objets qui se déplacent par rapport à nous. Dans la vie courante, les vitesses de déplacement sont très faibles par rapport à la vitesse de la lumière. Un avion de ligne parcourt environ 300 mètres par seconde soit le millionième de la vitesse de la lumière, un satellite artificiel en orbite basse autour de 8 km/s. Mais si on pouvait aller beaucoup plus vite (ce qui nécessiterait d'énormes quantités d'énergie), on pourrait arriver à l'un des 2 cas représentés en rouge et en vert sur le graphique.

Dans le cas de la partie en rouge du graphique, le déplacement se produit à environ 35 % de la vitesse de la lumière. Si ce qui se déplace est un vaisseau spatial, le temps pour les passager du vaisseau s'écoule légèrement moins vite (entre 93 et 94 %) que pour l'observateur resté sur Terre.

Dans le cas de la partie en vert du graphique, le vaisseau spatial de déplace à environ 98 % de la vitesse de la lumière. Le temps pour ses passager s'écoule 5 fois plus lentement que pour l'observateur resté sur Terre.

C'est la formule détaillée plus haut qui permet de savoir dans quelle proportion le temps est ralenti dans le vaisseau spatial en fonction de sa vitesse.

Le paradoxe des jumeaux de Langevin

Le paradoxe

Le paradoxe des jumeaux a été inventé par Paul Langevin à l'occasion d'un cours sur la relativité.

Deux frères jumeaux sont jeunes adultes (disons qu'ils ont 25 ans). On les appellera Pierre et Paul.

Paul part dans une fusée qui se déplace presque à la vitesse de la lumière, tandis que Pierre reste sur Terre. Paul va faire le tour d'une étoile et revient sur Terre quelques années après.

Pour Pierre, son frère qui est dans la fusée se déplace par rapport à lui à une vitesse proche de celle de la lumière. Quand il sera de retour, en application de la théorie de la relativité, il se sera écoulé moins de temps pour lui qu'il s'en est écoulé sur Terre. Donc, quand Paul reviendra sur Terre, il sera plus jeune que Pierre.

Cependant, Paul a un autre raisonnement. Il est dans la fusée et par rapport à lui, c'est la Terre, avec Pierre qui est resté dessus qui s'éloignent de lui à une vitesse proche de celle de la lumière. Dans la deuxième partie de son voyage, la Terre se rapprochera de lui, toujours à une vitesse proche de celle de la lumière jusqu'à ce qu'il puisse y poser sa fusée dessus. En application de la théorie de la relativité, Paul pense retrouver son frère Pierre plus jeune que lui.

En résumé, chacun des deux frères pense qu'à l'issue du voyage, c'est son jumeau qui sera plus jeune que lui.

Comment la théorie de la relativité restreinte résout-elle ce paradoxe ?

La théorie de la relativité restreinte s'applique entre deux référentiels inertiels, c'est à dire qu'ils sont animés d'un mouvement rectiligne et uniforme  l'un par rapport à l'autre.

Depuis le référentiel de la Terre

La Terre n'est pas vraiment un référentiel inertiel puisque la gravitation nous attire vers le bas, mais pour réfléchir sur ce problème, on ne tient pas compte de la gravitation.

Donc, par rapport au référentiel sur lequel séjourne Pierre, Paul se déplace très vite, d'abord en s'éloignant de la Terre dans sa fusée, puis en s'en rapprochant jusqu'à ce qu'il y revienne.

Peu importe la direction des déplacements, l'important est leur vitesse et leur durée. Si on connaît ces deux valeurs, on pourra calculer de combien Paul a moins vieilli que Pierre.

Depuis le référentiel qui suit la fusée de Paul à l'aller

La fusée qui quitte la terre avec Paul embarque aussi une sonde de mesure. Cette sonde permettra de comparer le temps écoulé sur Terre et dans la fusée.

On appelle F le référentiel qui, au début du voyage, suit la fusée dans laquelle se trouvent Paul et la sonde de mesure. À ce moment là, Paul et la sonde de mesure sont immobiles dans le référentiel F.

Durant la première partie du voyage, le raisonnement de Paul selon lequel Pierre, qui est resté sur terre vieillit moins vite que lui est tout à fait valable car la Terre, et Pierre qui est dessus, se déplacent à grande vitesse par rapport au référentiel F dans lequel Paul est immobile.

Cependant, au bout d'un certain temps, Paul choisit de revenir sur Terre. Mais juste avant de faire demi-tour, sa fusée largue la sonde de mesure qui continue son trajet dans l'espace en s'éloignant de la Terre.

La sonde de mesure continue de rester immobile par rapport au référentiel F.

Pour la Terre et Pierre qui est dessus, rien n'a changé. Ils continuent de s'éloigner de la sonde de mesure toujours à la même vitesse. Par contre, la fusée qui a fait demi-tour avec Paul dedans s'éloigne à présent de la sonde de mesure pour partir rejoindre la Terre.

Donc, vu depuis le référentiel F, le temps continue de s'écouler moins vite pour Pierre qui est sur Terre que pour la sonde de mesure. Mais à présent, il s'écoule encore moins vite pour Paul, car sa fusée partie rejoindre la Terre, se déplace encore le plus vite par rapport à la sonde de mesure.

Mais par rapport au référentiel F, (dans lequel la sonde de mesure est immobile), la Terre se déplace déjà à une vitesse proche la vitesse la lumière. Donc, lorsque Paul part rejoindre la Terre, il ne peut pas s'éloigner de la sonde de mesure beaucoup plus vite. En effet, la loi de composition des vitesses de la relativité galiléenne qui consiste une additionner deux vitesses ne fonctionne plus à très grande vitesse.

La vitesse de la lumière est la plus rapide possible et durant le trajet retour, Paul et sa fusée ne se déplacent pas beaucoup plus vite par rapport au référentiel F que le fait Pierre sur Terre.

En conséquence, vu depuis le référentiel F, le voyage retour de Paul sera beaucoup plus long que son voyage aller.

En résumé, vu depuis le référentiel F :

• pendant le trajet aller, Pierre qui est sur terre vieillit moins vite que Paul,
• pendant le trajet retour, c'est Paul qui vieillit le moins vite des deux,
• le trajet retour est beaucoup plus long que le trajet aller.

Finalement, lorsque Pierre et Paul se retrouveront sur Terre, ce sera bien Paul que sera le plus jeune des deux.

Depuis le référentiel qui suit la fusée de Paul au retour

C'est un cas symétrique du précédent. Pendant tout le voyage, la Terre se déplace à vitesse constante par rapport à ce référentiel. À l'aller, la fusée de Paul se déplace dans la même direction, mais légèrement plus vite.

À un certain moment, la fusée de Paul devient immobile dans le référentiel choisi alors que la Terre avec Pierre dessus qui n'a changé ni de vitesse ni de direction rejoint la fusée de Paul à une vitesse proche de celle de la lumière.

Vu depuis ce référentiel, le trajet aller de Paul est beaucoup plus long que son trajet retour.

À l'aller Paul a vieilli moins vite que Pierre car c'est celui des deux qui se déplaçait le plus vite. Au retour, c'est Pierre qui vieillit le moins vite des deux puisque c'est le seul qui se déplace. Mais comme le trajet aller a été beaucoup plus long, lorsque les deux frères se retrouveront, ce sera Pierre resté sur terre qui sera le plus vieux des deux.

Depuis la fusée de Paul pendant tout le voyage

Durant une partie de voyage, la fusée de Paul s'éloigne de la terre en ligne droite à vitesse constante puis, à un certain moment, elle repart en direction de la terre.

De de fait, il n'existe pas de référentiel inertiel par rapport auquel la fusée reste immobile pendant toute la durée du voyage. Or, comme dit plus haut, la théorie de la relativité restreinte s'applique (seulement) entre deux référentiels inertiels.

On peut considérer qu'à l'aller, la fusée est immobile par rapport à un premier référentiel inertiel et qu'au retour, la fusée est immobile par rapport à un autre référentiel inertiel.

Mais au moment où la fusée fait demi-tour, le temps écoulé pour Pierre et pour Paul depuis qu'ils se sont quittés n'est pas le même dans le référentiel de départ et dans celui de la fin du voyage. Il faudra tenir compte de ce changement des durées lors du passage d'un référentiel à l'autre.

Tableau de synthèse

Les explications précédentes étant longues, voici un tableau de synthèse des 4 cas étudiés.

Référenciel de l'observateur	Constatations	Résultat au retour
Depuis la Terre	Pierre est immobile dans le référentiel. Paul se déplace très vite pendant tout le voyage et vieillit moins que Pierre.	Paul est le plus jeune quand les deux frères se retrouvent.
Depuis le référentiel F qui suit la fusée à l'aller	À l'aller: Paul est immobile dans le référentiel F. Pierre se déplace très vite et vieillit moins que Paul. Au retour: Pierre se déplace toujours à la même vitesse. Son temps s'écoule moins vite que dans le référentiel F. Pour rejoindre Pierre, Paul se déplace encore plus vite et vieillit encore moins que Pierre. Vu du référentiel F, le temps du trajet retour de la fusée est plus long que celui du trajet aller.	Paul est le plus jeune quand les deux frères se retrouvent.
Depuis le référentiel R qui suit la fusée au retour	À l'aller: Pierre se déplace et son temps s'écoule moins vite que dans le référentiel R. Paul se déplace un peu plus vite et vieillit encore moins que Pierre. Au retour: Paul est immobile dans le référentiel R. Pierre se déplace toujours et vieillit moins vite que Paul. Vu du référentiel R, le temps du trajet retour de la fusée est plus court que celui du trajet aller.	Paul est le plus jeune quand les deux frères se retrouvent.
Depuis la fusée pendant tout le voyage	Lorsque la fusée fait demi tour, on quitte le référentiel F pour passer au référentiel R. Mais le temps qui s'écoule pour les deux personnes et la durée des étapes du voyage ne sont pas les mêmes dans les deux référentiels. Ce changement de référentiel n'est pas prévu dans la théorie de la relativité restreinte.	On ne peut résoudre ce problème qu'en modifiant les temps écoulés depuis le départ au moment du changement de référentiel. Cette correction ramènera au cas du référentiel R pour tout le voyage. Paul est le plus jeune quand les deux frères se retrouvent.

La relativité restreinte, juste une théorie ou quelque-chose de concret ?

Envoyer un homme dans un vaisseau spatial à une vitesse proche de celle de la lumière demanderait une quantité d'énergie colossale. Le ralentir ensuite pour qu'il reparte dans l'autre sens, l'accélérer de nouveau à une vitesse proche de celle de la lumière et pour finir le freiner au voisinage de la Terre en demanderai encore beaucoup plus. Avec nos connaissances et notre technologie actuelles, nous ne somme pas prêts pour réaliser l'expérience.

Durée de vie des muons

Mais d'autres expériences pour vérifier la relativité restreinte ont été réalisées. Les rayons cosmiques sont les rayonnements électromagnétiques les plus énergétiques qui existent. Lorsqu'il rencontrent des noyaux d'atomes dans l'atmosphère terrestre à une trentaine de kilomètres d'altitude, plusieurs particules sont le résultat de la collision. Parmi ces particules, il y a des mésons pi qui se désintègrent rapidement pour produire des muons.

Les muons ont une durée de vie d'environ 2,2x10⁻⁶ secondes, c'est à dire qu'au bout de 2,2 µs, la moitié se sont désintégrés, 2,2 µs après, la moitié de ceux qui restaient se sont désintégrés, et ainsi de suite. Or, en 2,2 µs, un rayon lumineux parcourt presque 660 m.

Les mésons puis les muons ont absorbé tellement d'énergie qu'ils se déplacent presque à la vitesse de la lumière (environ 99,5 % de celle-ci). Or, la quantité de muons qu'on détecte à faible altitude ou au niveau de la mer ne coïncide pas avec ce qu'il devrait rester après avoir parcouru une trentaine de kilomètres depuis l'endroit où ils apparaissent. Il y en a beaucoup plus. Par contre, si durée de vie des muons est prolongée à cause de la relativité, la quantité de muons mesurée correspond à ce que prévoit la théorie de la relativité restreinte.

Dérive des horloges atomiques en mouvement

L'expérience de Hafele et Keating.

L'expérience de Hafele et Keating a consisté à faire 2 tours du monde en avion, l'un d'ouest en est, l'autre d'est en ouest, (donc, une fois dans le sens de rotation de la Terre sur elle-même, une fois dans l'autre sens).

Pour chaque voyage, 4 horloges atomiques étaient embarquées dans les avions et au retour, on comparait l'heure de ces horloges avec celle d'autres horloges atomiques restées au sol.

• le retard de 59 ns  pour les horloges voyageant vers l'est,
• l'avance de 273 ns pour les horloges voyageant vers l'ouest,

est conforme aux calculs obtenus par la théorie de la relativité.

Resynchronisation des satellites GPS

Les GPS fonctionnent en faisant des calculs à partir des trames d'informations reçues d'au moins 3 satellites GPS. Chaque satellite envoie en permanence des informations indiquant l'endroit précis où il se trouve dans le ciel et l'heure exacte (au milliardième de seconde près) à laquelle il envoie cette information.

Le récepteur GPS compare les moments où il a reçu la trame d'information des différents satellites dont il capte le signal radio et peut calculer à quelle distance il se trouve de chacun de ces satellites, puis où il se trouve sur Terre.

Comme les ondes radio parcourent presque 30 cm en un milliardième de seconde, il faut que l'horloge des satellites GPS soit suffisamment à l'heure pour que la position de l'utilisateur d'un GPS puisse être calculée à quelques mètres près.

Dans ce but, les horloges atomique embarquées dans les satellites GPS sont régulièrement remises à l'heure et on tient compte de la relativité pour corriger leur dérive dans le temps par rapport à des horloges atomiques restées au sol.

Autres effets de la relativité

Roues qui roulent à 9/10 de la vitesse de la lumière. La vitesse d'un rayon en haut d'une roue est de 0,994 c alors que celle d'un rayon en bas est très faible (elle est nulle au point de contact entre la jante et la route). C'est pourquoi le haut est contracté par rapport au bas.

Contraction des longueurs

Un autre effet de la relativité restreinte est la contraction des longueurs.

Vu depuis un observateur qui ne se déplace pas, l'objet qui se déplace paraît raccourci dans le sens de son déplacement.

La proportion entre la longueur mesurée par l'observateur qui ne bouge pas et la longueur au repos de l'objet (ou celle mesurée en se déplaçant à la même vitesse que lui) est donnée par le même type de formule que pour la contraction du temps :

$\frac{Longueu{r}_{mesuree}}{Longueu{r}_{repos}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Mais bien entendu, pour celui qui se déplace en même temps, à la même vitesse et dans le même sens que l'objet dont l'observateur fixe mesure la longueur, il n'y a aucune modification de ses dimensions.

Loi de composition des vitesses

Cela a déjà été évoqué dans l'explication du paradoxe des jumeaux, si par rapport à nous un objet se déplace à la vitesse v₁ et que par rapport à cet objet, un autre se déplace dans la même direction à la vitesse v₂, par rapport à nous, le deuxième objet ne se déplace pas à la vitesse v₁ + v₂ qui est la formule de composition des vitesses de la relativité galiléenne.

La vrai vitesse de déplacement du 2ème objet par rapport à nous est : $\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}$

On rappelle que c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans le cas où v₁ et v₂ sont petits par rapport à c, la formule de composition des vitesses galiléenne qui donne $v_1+v_2$ est une bonne approximation car $\frac{v_1{v}_2}{c^2}$ est petit ou très petit par rapport à 1.

Au contraire, si au moins l'une des deux vitesses v₁ ou v₂ est égale à c, le résultat de la formule est c (même si on se déplace, la vitesse de la lumière qu'on mesure reste la même).

Voir aussi

Vikiliens

• Relativité galiléenne
• Relativité générale

Liens externes

• Vidéo Youtube : Le paradoxe des jumeaux et la relativité restreinte expliquée par David Louapre (Chaine science étonnante)

Note et références

Article mis en lumière la semaine du 3 février 2025.

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