Fonction dérivée

En noir la courbe d'une fonction et en rouge la tangente à cette fonction au point rouge.

La dérivée d'une fonction en un point est donnée par la Pente (relief) de la Tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. Sur le schéma ci-contre, la pente de la droite rouge.

De façon simple et concrète, la vitesse v d'un mobile, d'un vélo ou d'une voiture à chaque instant t est identique à la dérivée de la fonction distance x parcourue en fonction du temps t : v=x'(t).

La tangente ne peut pas être tracée si la courbe représentative n'est pas « lisse », s'il y des trous ou des angles. Dans ce cas la dérivée n'existe pas.

Trouver la fonction dérivée d'une fonction $f$, permet de résoudre des problèmes scientifiques, en physique, chimie, biologie, etc.

La dérivée est une fonction. Le nombre dérivé, la pente de la tangente en un point, correspond à la valeur de la fonction dérivée en ce point.

Les mathématiciens notent souvent la dérivée $f^{\prime }$. Les physiciens plus souvent $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$.

la dérivée est la limite d'une droite qui coupe la fonction lorsque les 2 points d'intersection se rejoignent. Cela permet de calculer les dérivées.

La figure montre comment calculer une dérivée avec la pente d'une droite qui devient tangente.

La Limite lorsque la distance entre les deux points d'intersection se confondent donne la valeur de la dérivée.

C'est exactement comme un compteur de vitesse à temps de mesure très rapide qui donne la vitesse instantanée de la voiture par la distance parcourue en une microseconde divisée par ce temps d'une microseconde.

Historique

La dérivation fait partie, avec l'intégration, du calcul infinitésimal créé au XVII^e siècle^? à la même époque séparément par Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton. (La dérivation est l'opération inverse de l'intégration.)

Principe

Cas simple

Pour une fonction affine, $f(x)=ax+b$, la courbe représentative est une droite (dans un repère orthonormé du plan). En tout point de cette droite la tangente sera cette droite même. La pente de cette droite est donnée par $a$.
En effet, si d'un point quelconque de cette droite on se déplace d’une unité vers la droite (à l'horizontale, selon l'axe des abscisses), il faudra monter (ou descendre, selon son signe) de $a$ pour se retrouver sur la droite.
La dérivée d'une fonction affine $f$ est donc constante : en tout $x$, $f^{\prime }(x)=a$.
Autre manière de dire la même chose, en parcourant la courbe selon les valeurs croissantes de $x$, la croissance de la fonction est constante.
Pour une fonction constante, $f(x)=c$, la dérivée est nulle, $f^{\prime }(x)=0$ en tout $x$ : La droite représentative est horizontale, elle ne « monte » ni ne « descend ».

Cas général

Pour une fonction $f$ quelconque dont la courbe représentative est "lisse" mais pas droite, comme celle du schéma, la croissance n'est pas la même en tout point. Elle « monte » ou « descend » plus ou moins.

Si on connait une formulation simple de la fonction on peut trouver la fonction dérivée $f^{\prime }$ permettant en tout point où elle est définie de calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ nous donnant la pente de la tangente, la croissance de la fonction $f$ au point d’abscisse $x$. Plus la dérivée a une grande valeur en un point, plus la courbe représentative de la fonction est « inclinée » en ce point.

Remarques :

• Là où la fonction n'est pas "lisses" on ne peut pas calculer sa dérivée. On dit que la fonction n'est pas dérivable. (Il existe des fonctions qui ne sont "lisses" et donc dérivables en aucun point.)
• La dérivée est unique (une fonction dont la dérivée existe n'a qu’une seule dérivée). Mais deux fonctions peuvent avoir la même dérivée ($f(x)=3x+2$ et $g(x)=3x+23$ ont la même dérivée : $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)=3$).

Sens de variation

Quand on parcours la courbe selon les valeurs croissantes de $x$ (vers la droite sur les abscisses), si la fonction « monte » , on dit qu'elle croît (ou qu'elle est croissante), si elle « descend » on dit qu'elle décroît (ou qu'elle est décroissante), si elle ne monte ni ne descend on dit qu'elle est constante. C'est ce qu'on appelle le sens de variation.

• si $f^{\prime }(x)$ est positive, $f$ est croissante autour de $x$ ;
• si $f^{\prime }(x)=0$, $f$ est constante autour de $x$, $f$ a une tangente horizontale en $x$.
• si $f^{\prime }(x)$ est négative, $f$ est décroissante autour de $x$.

Calculs

Des formules permettent de calculer la dérivée de fonction dont l'expression est simple, comme par exemple $f(x)=\frac{\exp (\sqrt{a{x}^2+bx+c})}{\cos x+2}$, composés de fonctions dont les dérivées sont connues.

Règles de calculs

$f$ et $g$ étant des fonctions de $\mathbb{ℝ}$ . $a\in \mathbb{ℝ}$

Fonction	Dérivée
$(f+g{)}^{\prime }$	$f^{\prime }+g^{\prime }$
$(af{)}^{\prime }$	$a{f}^{\prime }$
$(fg{)}^{\prime }$	$f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
$(f^n{)}^{\prime }$	$n{f}^{\prime }{f}^{n-1}$
$\left(\frac{1}{f}\right)$	$-\frac{f^{\prime }}{f^2}$
$\left(\frac{f}{g}\right)$	$\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
$(g\circ f{)}^{\prime }$	$(g^{\prime }\circ f)\times f^{\prime }$
…	…

Dérivée de fonctions de référence

$a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$

Fonction	Dérivée
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$	$-n{x}^{-n-1}=-\frac{n}{x^{n+1}}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
${\mathrm{e}}^x$	${\mathrm{e}}^x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
…	…

Exemple

$f(x)=6x^3+8x^2+9x+12$ . $f^{\prime }(x)=18x^2+16x+9$ . $f^{\prime }$ est toujours positive sur $\mathbb{ℝ}$ (car $\mathrm{\Delta }<0,f(0)=9$), la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{ℝ}$.

Utiliser la dérivée peut aussi permettre de lever des indéterminations sur les calculs de limites, quand on trouve une forme indéterminée du type : $\frac{0}{0}$ et $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.

Application

Exemple en physique

Une application parlante de la dérivation en physique.

Supposons qu'un mobile se déplace en ligne droite à une vitesse constante de 4 km/h , chaque heure, le mobile a avancé de 4 km.

On peut donc établir une fonction qui, en fonction du temps, nous donne la distance que le mobile a parcourue : $f(t)=4\times t$ (ici, $t$ représente le temps, en heures). C'est une fonction affine qu'on sait très bien dériver : $f^{\prime }(t)=4$. On retrouve la vitesse du mobile !

Donc, lorsqu'on a une fonction qui nous donne une distance parcourue en ligne droite par un mobile, la dérivée nous donne la vitesse de ce mobile.

Ceci est l'application la plus simple de la dérivée.

Si la vitesse de la voiture, du vélo ou du mobile change au cours du temps, la vitesse ou dérivée est celle mesurée sur un temps court par un compteur de vitesse, c'est à dire la distance parcourue par dt=1seconde ou moins en un dt= millième de seconde, divisée par ce temps dt de mesure.

Cette définition pratique correspond en mathématiques à la notion de limite utilisée pour définir la dérivée, vitesse mesurée sur des temps dt de plus en plus court à la limite dt vers 0.

Sur la courbe de la distance parcourue en fonction du temps t la dérivée ( pente de la tangente à la courbe ) donne la vitesse variable à chaque instant.

Cette définition de compteur de vitesse par limite sur temps dt de plus en plus court, permet de calculer directement toutes les dérivées des formules données ci dessus, si on ne les connait pas ou si on les a oubliées.

Plus intéressants, si on dérive la vitesse, c'est-à-dire la dérivée elle-même, on obtient l'accélération. Puisque la dérivée est une fonction, on peut dériver la dérivée, mathématiquement on appelle ça une dérivée seconde.

Dans le cas du mobile $f(t)=4\times t$ , $f^{\prime }(t)=4$ , $f^{″}(t)=0$ . Vitesse constante : le mobile n'accélère pas !

Dans le cas de la chute d'un corps lâché à un altitude $z_0$ sur terre dans le vide ( sans frottement qui freine et ralentit la chute ) l'accélération g=9,81 m/s^2 est constante ( Lois du mouvement de Newton Gravitation :

la vitesse augmente progressivement à raison de g=9,81 m/s^2 en plus à chaque seconde.

En arrondissant 9,81 à 10 m/s^2 pour faire simple, la première seconde de chute elle atteint 10 m/s soit 36Km/h ( déjà très violent en cognant le sol ), la seconde seconde en temps de chute on tombe à 20 m/s, en 3 secondes on atteint 30 m/s et ainsi de plus en plus vite.

La distance parcourue, avec une vitesse de plus en plus rapide, croit alors comme le carré du temps t de chute, h=z=5m la première seconde, en 2 secondes z=5x2x2=20m, en 3 secondes z=5x3x3=45m , ainsi de suite, résultat résumé dans les formules mathématiques de la chute des corps et de l'accélération par une force constante comme celle de Gravitation :

$z(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+z_0$ , $z^{\prime }(t)=v(t)=-gt$ , $z^{″}(t)=v^{\prime }(t)=a(t)=-g$ . L'accélération sur terre, deuxième loi de Newton.