Repère orthonormé

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Un repère est un outil mathématique : il permet de repérer des objets géométriques (comme des points, des droites, etc.), c'est-à-dire de leur « donner une adresse », en quelque sorte. Grâce à ce repérage, on peut ensuite manipuler ces objets : effectuer des symétries, résoudre des problèmes, ...

On construit un repère à partir d'un point que l'on choisit (appelé origine du repère). À partir de ce point, on définit des axes, c'est-à-dire des droites graduées (comme des règles). Ces axes passent par l'origine, et on crée autant d'axes qu'il y a de dimensions : par exemple, si l'on travaille dans le plan, on prendra deux axes (la longueur et la largeur) ; dans l'espace, on a besoin de trois axes (puisqu'on est en 3 dimensions : longueur, largeur et profondeur). Naturellement, ces axes se croisent à l'origine, et on définit généralement cette origine comme la graduation « zéro » des axes.

Les trois axes (en couleurs) d'un repère (orthonormé) de l'espace ; en rouge, l'origine.

Pour nommer un repère, on lui attribue une lettre, généralement R ; on indique ainsi ses propriétés : R(O, i, j) (par exemple), où :

O est le nom du point que nous avons choisi comme origine du repère R ;
i et j sont des vecteurs. On peut les voir comme des flèches qui donnent la direction des axes du repère. i est le vecteur qui dirige l'axe des longueurs, et j l'axe des largeurs, par exemple.

Pour aller plus loin

Repère orthonormé[modifier | modifier le wikicode]

Ortho- signifie « droit » et normé veut dire que l'on a divisé un vecteur par sa norme (sa longueur) ; en gros, qu'on a raccourci i et j pour leur donner une longueur (pour les vecteurs, on parle de norme) égale à 1.

Un repère orthonormé est un repère qui vérifie plusieurs conditions :

chacun de ses axes est perpendiculaire aux autres : il forme un angle droit avec les autres axes ;
une graduation sur un axe vaut une unité, et la « taille » des graduations est la même sur tous les axes : les vecteurs sont normés, on dit aussi qu'ils sont unitaires (leur longueur vaut une unité) ;
il existe aussi une règle qui concerne les angles, mais elle demande des connaissances plus poussées pour être comprise (niveau lycée).