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Calcul infinitésimal
Le calcul infinitésimal est une branche des mathématiques appartenant à l'analyse, mais développée à partir de l'algèbre et de la géométrie. Il implique deux méthodes complémentaires et inverses l'une de l'autre :
- le calcul différentiel : calcul et étude de la fonction dérivée ou de ses dérivées partielles d'une fonction
- le calcul intégral : calcul de l'intégrale d'une fonction
La fonction dérivée de la fonction permet d'observer l'évolution de la tangente (en vert et rouge) à sa courbe (en bleu)
L'intégrale permet de calculer sous la courbe de la fonction (en bleu)
De façon pratique, concrète, simple, évidente, sur la figure, la dérivée ou pente de la tangente à la courbe fonction qui décrit la position y=f(x) d'un vélo en fonction du temps t=x sur une route est simplement sa vitesse V instantanée indiquée par son compteur, de vitesse, facile à comprendre. Cette notion, simple au départ, est si importante que son étude très approfondie et rigoureuse sur 3 siècles passés constitue un domaine fondamental immense des mathématiques et de la physique, utilisé sans cesse pour comprendre notre monde. Lorsqu'on se donne la vitesse V(t). enregistrée en fonction du temps le calcul inverse pour retrouver la position y=f(t) s'appelle calcul intégral.. Le calcul intégral aussi donne la surface sous la courbe et est essentiel pour calculer les surfaces et volumes.et tous les effets expérimentaux.
La version moderne du calcul infinitésimal est appelée analyse réelle. Plus rigoureuse, l'analyse réelle regroupe le calcul infinitésimal, l'étude des suites et des séries et la résolution d'équations différentielles.
Historique[modifier | modifier le wikicode]
Archimède dans De la sphère et du cylindre est l'initiateur des problèmes de tangentes (étudier l'évolution d'une tangente à une courbe au fil des points) et des problèmes de quadratures (calculer l'aire d'une figure en la découpant en rectangles le plus finement possible).
Ces recherche sont poursuivies au XVIIe siècle par Galilée, Cavalieri, Toricelli, Wallis, Christian Huygens et Blaise Pascal. On considère que Pierre de Fermat est celui à être allé le plus loin juste avant la création de la discipline. Sa méthode des maxima et des minima (1637) utilise le passage à la limite.
Deux mathématiciens vont en même temps créer le calcul infinitésimal, avec des optiques différentes :
- Isaac Newton : établit la méthode des fluxions, intuitive mais peu rigoureuse ; elle permet le calcul des orbites des planètes grâce aux lois de la gravitation ; découverte en 1671 mais publiée partiellement en 1687 dans Philosophiae naturalis principia mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle) et intégralement en 1704 dans De l'optique.
- Gottfried Leibniz : il s'aperçoit que les problèmes de quadratures et de tangentes sont l'inverse l'un de l'autre et formalise établit des règles de calcul précises et définit les notion de dérivée, intégrale et infiniment petit ; conçue en 1675 mais publiée en 1684 dans Acta eruditorum.
Une querelle pour savoir qui a été le premier à inventer le calcul infinitésimal va naître de ces délais entre naissance de l'idée et publication. Deux écoles vont naître :
- l'école suisse qui soutient Leibniz : la famille Bernoulli à la fin du XVIIe siècle puis Leonhard Euler au XVIIIe siècle
- l'école anglaise qui soutient Newton : l'anglais Brook Taylor, les écossais James Stirling et Colin MacLaurin
Les mathématiciens français (Abraham de Moivre, Alexis Clairaut, Jean le Rond d'Alembert, Pierre-Simon de Laplace) soutiennent d'abord l'école anglaise pour son efficacité notamment en astronomie.
Mais la méthode de Leibniz, plus rigoureuse et claire, va s'imposer durant le XVIIIe siècle. Ce sont d'ailleurs ses notations que l'on utilise encore aujourd'hui. A la fin du XVIIIe siècle, Joseph-Louis Lagrange fait la synthèse des deux écoles dans Mécanique analytique (1788).
Applications[modifier | modifier le wikicode]
Le calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement toutes les sciences, voir dans tous les domaines. Le développement de la physique doit beaucoup au calcul infinitésimal : mécanique des corps, Mécanique des fluides, étude des gaz, mécanique des ondes, optique, acoustique… Presque toutes les technologies modernes font un usage important du calcul infinitésimal.
Mais l'application la plus marquante reste son efficacité en astronomie : grâce aux lois de la gravitation, on peut l'utiliser pour calculer les orbites des astres et retrouver les lois de Kepler. Deux événements, symboles du triomphe de la physique mathématique, ont particulièrement marqué les esprits :
- En 1705, Edmond Halley calcule et prévoit en 1758 le retour de la comète qui portera son nom
- En 1846, la planète Neptune est découverte grâce aux calculs sur l'orbite d'Uranus de John Adams et Urbain Le Verrier
- Calcul d'orbites grâce au calcul infinitésimal en astronomie
Trajectoire circulaire d'un astre de masse faible autour d'un astre de masse très grande
Trajectoire elliptique de deux astres de même masse
Trajectoire faiblement elliptique d'Uranus autour du Soleil (en rouge) ; des décalages entre observations et calculs ont révélé la présence d'une nouvelle planète (Neptune, en bleu à l'extérieur)
Trajectoire fortement elliptique de la comète de Halley (avec orbites des planètes intérieures)
Références[modifier | modifier le wikicode]
Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]
- Une histoire des mathématiques, Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Seuil, 1986
- La révolution mathématique du XVIIe siècle, Évelyne Barbin, Ellipses, 2006
- Analyse infinitésimale : le calculus redécouvert, J. Bair, V. Henry, Academia Bruylant, 2008
- Calcul infinitésimal, Jean-Marc Garnier, Ellipses, 2015
Liens externes[modifier | modifier le wikicode]
- Les infiniment petits selon Fermat : prémisses de la notion de dérivée sur Bibnum.fr
- Le calcul différentiel sur Chronomath.fr
- Une histoire du calcul différentiel sur math93.com
Notes[modifier | modifier le wikicode]
- ↑ On peut réduire la largeur des rectangles pour obtenir une valeur plus précise : c'est le principe de la méthode d'exhaustion
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