Calcul infinitésimal

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Le calcul infinitésimal est une branche des mathématiques appartenant à l'analyse, mais développée à partir de l'algèbre et de la géométrie. Il implique deux méthodes complémentaires et inverses l'un de l'autre :

La version moderne du calcul infinitésimal est appelée analyse réelle. Plus rigoureuse, l'analyse réelle regroupe le calcul infinitésimal, l'étude des suites et des séries et la résolution d'équations différentielles.

Historique[modifier | modifier le wikicode]

L'aire sous la courbe est comprise entre l'aire des rectangles verts et l'aire des rectangles jaunes1

Archimède dans De la sphère et du cylindre est l'initiateur des problèmes de tangentes (étudier l'évolution d'une tangente à une courbe au fil des points) et des problèmes de quadratures (calculer l'aire d'une figure en la découpant en rectangles le plus finement possible).

Ces recherche sont poursuivies au XVIIe siècle par Galilée, Cavalieri, Toricelli, Wallis, Christian Huygens et Blaise Pascal. On considère que Pierre de Fermat est celui à être allé le plus loin juste avant la création de la discipline. Sa méthode des maxima et des minima (1637) utilise le passage à la limite.

Deux mathématiciens vont en même temps créer le calcul infinitésimal, avec des optiques différentes :

  • Isaac Newton : établit la méthode des fluxions, intuitive mais peu rigoureuse ; elle permet le calcul des orbites des planètes grâce aux lois de la gravitation ; découverte en 1671 mais publiée partiellement en 1687 dans Philosophiae naturalis principia mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle) et intégralement en 1704 dans De l'optique.
  • Gottfried Leibniz : il s'aperçoit que les problèmes de quadratures et de tangentes sont l'inverse l'un de l'autre et formalise établit des règles de calcul précises et définit les notion de dérivée, intégrale et infiniment petit ; conçue en 1675 mais publiée en 1684 dans Acta eruditorum.

Une querelle pour savoir qui a été le premier à inventer le calcul infinitésimal va naître de ces délais entre naissance de l'idée et publication. Deux écoles vont naître :

  • l'école suisse qui soutient Leibniz : la famille Bernoulli à la fin du XVIIe siècle puis Leonhard Euler au XVIIIe siècle
  • l'école anglaise qui soutient Newton : l'anglais Brook Taylor, les écossais James Stirling et Colin MacLaurin

Les mathématiciens français (Abraham de Moivre, Alexis Clairaut, Jean le Rond d'Alembert, Pierre-Simon de Laplace) soutiennent d'abord l'école anglaise pour son efficacité notamment en astronomie.

Mais la méthode de Leibniz, plus rigoureuse et claire, va s'imposer durant le XVIIIe siècle. Ce sont d'ailleurs ses notations que l'on utilise encore aujourd'hui. A la fin du XVIIIe siècle, Joseph-Louis Lagrange fait la synthèse des deux écoles dans Mécanique analytique (1788).

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement toutes les sciences, voir dans tous les domaines. Le développement de la physique doit beaucoup au calcul infinitésimal : mécanique des corps, Mécanique des fluides, étude des gaz, mécanique des ondes, optique, acoustique… Presque toutes les technologies modernes font un usage important du calcul infinitésimal.

Mais l'application la plus marquante reste son efficacité en astronomie : grâce aux lois de la gravitation, on peut l'utiliser pour calculer les orbites des astres et retrouver les lois de Kepler. Deux événements, symboles du triomphe de la physique mathématique, ont particulièrement marqué les esprits :

Références[modifier | modifier le wikicode]

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

  • Une histoire des mathématiques, Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Seuil, 1986
  • La révolution mathématique du XVIIe siècle, Évelyne Barbin, Ellipses, 2006
  • Analyse infinitésimale : le calculus redécouvert, J. Bair, V. Henry, Academia Bruylant, 2008
  • Calcul infinitésimal, Jean-Marc Garnier, Ellipses, 2015

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. On peut réduire la largeur des rectangles pour obtenir une valeur plus précise : c'est le principe de la méthode d'exhaustion
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