Nombre irrationnel

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Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction de deux entiers relatifs. Les nombres qui ne sont pas irrationnels sont rationnels. Un nombre réel est donc soit rationnel soit irrationnel.

Quelques nombres irrationnels célèbres :

  • pi :
  • le nombre d'or :
  • la racine carrée de 2 :
  • e, le nombre d'Euler :

Un nombre irrationnel a toujours une infinité de chiffres après la virgule : sont développement décimal est infini. Cependant, ce n'est pas parce qu'un nombre possède une infinité de chiffres après la virgule qu'il est irrationnel. En effet, le nombre est bien rationnel car c'est une fraction d'entiers.
D'une manière plus générale un nombre dont les chiffres après la virgule se répètent après un certain rang, par exemple est un nombre rationnel (la séquence se répète à partir du troisième chiffre après la virgule).

Certains nombres irrationnels, qui ne s'expriment donc pas comme quotient d'entiers, sont toutefois solution d'une équation polynomiale. Par exemple, est solution de l'équation polynomiale . Le nombre d'or est une solution de l'équation polynomiale . Nonobstant tous les nombres irrationnels ne sont pas solution d'une équation polynomiale. Par exemple n'est solution d'aucune équation polynomiale. De tels nombres sont appelés transcendants.

Tout réel, et donc tout nombre, irrationnel ou rationnel, peut s'écrire comme une somme infinie de nombres rationnels. Par exemple, π = 3/1 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 5/10000 + … .
Un nombre simple peut aussi s'écrire ainsi, 2 = 2/1 + 0/10 + 0/100 + 0/1000 + … .
Une suite infini de fractions peut être une bonne façon de représenter un irrationnel. Ainsi le nombre e, irrationnel et transcendant :

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