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(Avant de lire cet article, il est plus que vivement conseillé d'être familiarisé avec les fonctions)
En mathématiques, la dérivée est un outil très puissant qui est associé à une fonction. La dérivation permet de résoudre des centaines de problème dans tous les domaines scientifiques, que ce soit la physique, la chimie, la biologie ou autre.
Historique[modifier | modifier le wikicode]
La dérivation fait partie, avec l'intégration, du calcul infinitésimal. Ce dernier fut créé au XVIIème siècle et reste flou au niveau de son créateur : Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton ont eu des idées semblables à la même époque.
Le Principe[modifier | modifier le wikicode]
Pour commencer[modifier | modifier le wikicode]
L'exemple le plus simple d'utilisation de la dérivée est le cas de la fonction affine : Soit une fonction affine : f(x)=a+bx. On se place dans un repère orthonormé Cette fonction défini donc une droite. On remarque que lorsque l'on suit la droite horizontale du repère (appelée axe des abscisses) et que l'on se déplace de 1 vers la droite, on va monter de b sur la verticale (appelée axe des ordonnées). Ceci est vrai pour tous les points de la droite. On "augmente" partout de la même manière. Cette augmentation, c'est ce qu'on appelle la croissance de la fonction. Voici donc le majeur intérêt de la dérivation, l'étude des croissances de fonction. Donc, notre fonction affine croît toujours de la même manière (on avance de 1 en abscisse, on monte de b en ordonnée), la dérivée de la fonction f est donc b.
Attention: la dérivée est une fonction. On la note f'. Dans le cas de la fonction affine, on a f'(x)=b.
Cas général[modifier | modifier le wikicode]
Toutes les fonctions ne sont pas des fonctions affines, donc elles n'ont pas toutes une croissance pareille en tout point. C'est pour cela que la dérivée est une fonction. Si on a une fonction f(x) quelconque, f'(x) nous donne la valeur de la croissance de la fonction f au point qui a pour abscisse x. Dans le cas de la fonction affine on dit que la dérivée est constante pusiqu'elle croît toujours de la même manière. Dans le cas de la fonction constante, la dérivée est nulle, c'est à dire : f'(x)=0, car une fonction constance se représente avec une droite horizontale, donc elle ne "monte" pas et ne "descend" pas.
Il y a plein de formules et de méthodes qui permettent de calculer la fonction dérivée d'une fonction.
Attention: on ne peut pas toujours avoir la dérivée d'une fonction. Dans ce cas on dit que la fonction n'est pas dérivable.
Remarques[modifier | modifier le wikicode]
Une fonction dérivable (c'est à dire que sa dérivée existe) n'a qu'une seule dérivée, on dit que la dérivée est unique.
Par contre, deux fonctions différentes peuvent avoir la même dérivée : soit f(x)=2+3x et g(x)=23+3x, on a la dérivée de f, f'(x)=3, et la dérivée de g, g'(x)=3, d'où, g'(x)=f'(x) alors que f(x)≠g(x)
La dérivation est à peu près l'opération inverse de l'intégration.
Application[modifier | modifier le wikicode]
Exemple avec la physique[modifier | modifier le wikicode]
L'application la plus parlante est dans le monde de la physique. Supposons qu'une personne marche à une vitesse de 4km/h: À chaque fois qu'il se passe une heure, la personne avance de 4km. On peut donc établir une fonction qui selon le nombre d'heure nous donne la disantance que la personne a parcouru: f(x)=4x (ici x représente le nombre d'heures) C'est une fonction affine qu'on sait très bien dériver : f'(x) = 4. On remarque qu'on retrouve la vitesse de la personne. Donc lorsqu'on a une fonction qui nous donne une distance parcourue par quelqu'un ou quelque chose, la dérivée nous donnera la vitesse de cette personne ou de cet objet.
Remarque[modifier | modifier le wikicode]
Et ceci est l'application la plus simple de la dérivée, en faisant des calculs plus poussés ou en prenant des fonctions plus complexes on peut obtenir des résultats encore plus intéressants.
Pour reprendre notre exemple, si on dérive la vitesse, c'est a dire la dérivée (puisque la dérivée est une fonction on peut donc dériver la dérivée), on obtient l'accélération.
Les sens de variations[modifier | modifier le wikicode]
Une autre utilité de la dérivée est la détermination des sens de variations.
Comme on l'a expliqué : lorsqu'une fonction "monte" quand on va vers la droite sur les abscisses, on dit qu'elle croît (ou qu'elle est croissante). De même, lorsqu'une fonction "descend" lorsqu'on va vers la droite sur les abscisses, on dit qu'elle décroit (ou qu'elle est décroissante). C'est ce qu'on appelle les sens de variation.
On peut déterminer le sens de variation directement avec la dérivée en suivant cette règle: si f'(x) est négative, alors f est décroissante autour de x. si f'(x) est positive, alors f est croissante autour de x. si f'(x) = 0, alors f est "plate" autour de x, cela veut dire que f a une tangente horizontale en x.
Attention: x est fixé ici, il décrit un point précis.