Utilisateur:Hermann/Interpolation de Lagrange

L'interpolation de Lagrange est une méthode nommée d'après le mathématicien Joseph-Louis Lagrange qui permet d'associer une série de points avec des cordonnées (x et y) à une fonction passant par ses points. Cette méthode à été découverte par Edward Waring en 1779 et à nouveaux par Leonhard Euler en 1783.

Origine du problème

L'interpolation de Lagrange permet de résoudre la question du tracé d'une fonction passant par un certain nombres de points. Dans notre cas prenons quatre nombres distincts et non nuls correspondant aux abscisses $a^{1};a^{2};a^{3};a^{4}$ et également quatre nombres correspondant aux ordonnés $y^{1};y^{2};y^{3};y^{4}$. On souhaite déterminer facilement une fonction passant par ses quatre points tel que par exemple $f(a^{1})=y^{1}$. Les fonctions ayant la forme de polynômes sont sans doute le meilleur choix dans ce cas de figure. Prenons les deux premiers points quel'on nommera M et N de cordonnées $M(a^{1};y^{1})$ et $N(a^{2};y^{2})$, on peut donc tracer une droite entre ces deux points, droite dont on peu facilement déterminé l'équation qui correspond à une fonction affine (c'est un polynôme de degré 1).

Maintenant si l'on prend en plus des points M et N le point $P(a^{3},y^{3})$, il peut exister une parabole de la forme : $ax^{2}+bx+c$, on peut répéter l'opération avec le point $O(x^{4},y^{4})$ qui donnera un polynôme de degré 3. On peut donc conjecturer que pour un nombre de point n il existe une fonction polynomial  de degré au plus  $n-1$. Les points M;N;O;P sont appelée point d'interpolation.

Objectif

L'interpolation de Lagrange propose de géré un à un chacun de ses points d'interpolation, c'est-à-dire que l'on va trouver dans notre cas 4 fonctions dans un premier temps. La première fonction vaudra 1 en $a^{1}$ et 0 pour touts les autres points et ainsi de suite pour les autres points. Ensuite si l'on combine c'est quatre fonctions que l'on appelle polynôme élémentaire de Lagrange, la fonction obtenue passera bien par ses quatre points .