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Triangle rectangle

« Triangle rectangle » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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En géométrie, un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit, c'est-à-dire qu'il mesure 90°. Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est toujours le côté de plus grande longueur.

Pythagore.jpg
Ce triangle ABC est rectangle en C. Cela signifie que l'angle ACB vaut 90°.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. La somme des deux autres angles ABC et CAB est donc égale à 90°.

L'aire d'un triangle rectangle est la moitié des produits des longueurs des deux côtés adjacents à l'angle droit : c'est-à-dire qu'il suffit de multiplier les longueurs des deux côtés autour de l'angle droit et de diviser par deux pour obtenir l'aire du triangle.

Théorème de Pythagore[modifier]

Un triangle rectangle tracé à la main.

Le théorème de Pythagore affirme :

Le carré de la longueur de l'hypoténuse vaut la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème porte que le nom du mathématicien grec Pythagore. Toutefois le résultat était connu de civilisations antérieures, notamment par les Égyptiens et les Babyloniens. Plusieurs preuves ont été données. Elles reposent toutes sur des égalités d'aires. La première preuve écrite retrouvée a été donnée par Euclide dans ses Éléments au IVe siècle av. J.-C.

Ce résultat permet de calculer facilement des longueurs en trigonométrie. Il fut utilisé très tôt par les charpentiers, les architectes, mais aussi pour les besoins de l'agriculture et de l'irrigation.

Le triangle 3-4-5 est un triangle rectangle particulier dont les côtés adjacents à l'angle droit ont pour longueurs 3 et 4 unités. Son hypoténuse a donc pour longueur 5 unités car :

52 = 25 = 16 + 9 = 42 + 32
Pour en savoir plus Pour en savoir plus, lire l’article : Théorème de Pythagore.


Cercle circonscrit[modifier]

Par trois points passe un unique cercle : c'est le cercle circonscrit du triangle formé par ces trois points. Son centre est l'intersection des médiatrices des côtés du triangle.

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

En particulier, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.

Preuve : Dans un triangle ABC rectangle en A, la médiatrice (d) du segment [AB] et la droite (AC) sont orthogonales à la droite (AB). Par conséquent, la droite (d) est parallèle à (AC) ; en outre, elle coupe [AB] en son milieu. Le théorème de la droite des milieux s'applique : (d) coupe [BC] en son milieu. Pour des raisons analogues, la médiatrice du segment [AC] coupe [BC] en son milieu. Le milieu du segment [BC] est donc le point d'intersection des médiatrices des segments [AB] et [AC]. Par conséquent, c'est bien le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

La réciproque est un théorème classiquement attribué à Thalès de Milet :

Si un des côtés d'un triangle est le diamètre du cercle circonscrit, alors l'angle opposé est droit.

L'hypothèse signifie exactement que le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un des côtés du triangle.

Si ABC est un triangle, on suppose que le milieu I du côté [BC] est le centre du cercle circonscrit. Par conséquent, I appartient à la médiatrice (d) du côté [AB]. Cette droite (d) coupe alors les segments [AB] et [BC] en leurs milieux. Par le théorème de la droite des milieux, la droite (d) est parallèle à la droite (AC). Or, comme la droite (d) est la médiatrice du segment [AB], elle est perpendiculaire à (AB). Les droites (AC) et (AB) sont donc perpendiculaires. Autrement dit, l'angle au sommet A est un angle droit.

Triangle rectangle isocèle[modifier]

Un triangle ABC est rectangle et isocèle en A lorsque les longueurs AB et AC sont égales et que l'angle en A est droit.

Pour en savoir plus, lire Triangle rectangle isocèle

Sur la géométrie du triangle
Vocabulaire
SommetArêteAngle
Droites remarquables

MédianeHauteurBissectriceDroite d'EulerSymédiane

Points remarquables

Centre de gravitéOrthocentrePoint de BrocardPoint de GeorgonnePoint de Lemoine

Cercles remarquables

Cercle inscritCercle circonscritCercles exinscritsCercle des neuf points


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