Diamètre

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Dans un cercle, un diamètre est un segment délimité par le cercle et qui passe par le centre du cercle. Tous les diamètres d'un même cercle ont même longueur et on appelle aussi diamètre cette longueur commune.


La plus grande corde[modifier]

Diamètre cercle.gif

Deux points A et B du cercle délimitent un segment [AB], qu'on appelle corde. Une corde est donc un segment dont les extrémités se trouvent sur le cercle.

Par définition, un diamètre est en particulier, la longueur du segment [AB] vaut 2  ×  AO.

On peut énoncer des définitions équivalentes du diamètre :

Un diamètre est :
  • une corde qui contient le centre du cercle ;
  • une corde dont le centre du cercle est le milieu ;
  • une corde dont la longueur vaut deux fois le rayon ;
  • Une corde de longueur maximale.

Ces définitions sont équivalentes. Autrement dit, si une corde vérifie une des quatre propriétés énoncées, elle vérifie automatiquement les trois autres !

Si une corde [AB] qui contient le centre O du cercle, les points A, O et B sont alignés. Mais AO  =  OB car les points A et B appartiennent au même cercle de centre O. Par conséquent, le point O est le milieu du segment [AB].

Si le point O est le milieu du segment [AB], alors sa longueur AB vaut deux fois la distance AO. Mais le point A se situe sur le cercle de centre O : la distance AO vaut donc le rayon du cercle. La longueur AB vaut donc deux fois le rayon du cercle.

La longueur d'une corde [AB] est certainement inférieure à la somme AO  +  OB. (C'est l'inégalité triangulaire). Comme les points A et B se situent sur le même cercle de centre O, les distances AO et OB sont égales et valent le rayon du cercle. Par conséquent, la longueur d'une corde est inférieure à deux fois le rayon du cercle.

Comme il existe des cordes de longueur deux fois le rayon du cercle, la longueur maximale d'une corde est exactement deux fois le rayon du cercle.

Si la longueur de la corde [AB] vaut deux fois le rayon du cercle, on a égalité AB  =  AO  +  OB. Par conséquent, les points A, O et B sont alignés.

Quand deux points A et B du cercle sont les extrémités d'un diamètre, on dit qu'ils sont diamètralement opposés.

Diamètres et rotations[modifier]

Une rotation de centre O préserve les distances et l'alignement des points. En particulier, si C est un cercle de centre O, la rotation préserve le cercle C. En particulier, elle envoie toute corde sur une corde, et tout diamètre sur un diamètre.

Il n'est donc pas étonnant que tous les diamètres ont même longueur.

Diamètre et rayon[modifier]

Le diamètre D est relié à la circonférence C par le rapport pi

C = π × D

et donc

D = π / C

La circonférence vaut donc un peu plus de trois fois le diamètre, et donc de six fois le rayon.

Généralisation[modifier]

Le diamètre d'un objet est la plus grande longueur qui sépare deux points de l'objet. Par exemple, le diamètre d'un carré est la longueur de sa diagonale.


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