Triangle équilatéral

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Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Autrement, un triangle équilatéral ABC, c'est trois points A, B et C du plan tels que AB  =  BC  =  CA. Non seulement les trois côtés ont la même longueur, mais de plus les trois angles ont la même mesure : 60° ni plus, ni moins.

Éthymologie : L'adjectif équilatéral provient du latin aequus (égal) et latus (côté). Donc, équilatéral signifie exactement d'égal côté.

Angles[modifier | modifier le wikicode]

Mesure de quelques angles dans un triangle équilatéral.
  • Un triangle est équilatéral si, et seulement si, ses trois angles sont égaux.

Un triangle équilatéral ABC vérifie par définition AB=AC=BC. En particulier, il est isocèle en A ; en B et en C. Comme il est isocèle en A, les angles en B et en C sont égaux. Comme il est isocèle en B, les angles en A et en C sont égaux. Ses trois angles sont donc égaux.

Réciproquement, si les trois angles de ABC sont égaux, alors il est isocèle en A ; en B et en C. Donc, AB=AC ; BA=BC et CA=CB. Par conséquent, les trois côtés ont mêmes longueurs.

  • La hauteur et la bissectrice issues d'un des sommets, la médiane de l'angle en ce sommet, et la médiatrice du segment opposé sont quatre droites confondues.
  • Dans un triangle équilatéral, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, et le centre du cercle inscrit sont trois points confondus.

L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs du triangle ; le centre du cercle inscrit est l'intersection des trois médianes ; le centre du cercle circonscrit est l'intersection de ses trois médiatrices. Médiatrices, médianes et hauteurs se confondent dans un triangle équilatéral.

Hauteur et aire[modifier | modifier le wikicode]

La hauteur d'un triangle équilatéral est égale à la longueur que l'on multiplie par la moitié de la racine carrée de 3.

L'aire d'un triangle équilatéral de côté a vaut   ×  sqrt (3) /4

Construction d'un triangle équilatéral[modifier | modifier le wikicode]

Sur la géométrie du triangle
Vocabulaire
SommetArêteAngle
Droites remarquables

MédianeHauteurBissectriceMédiatriceDroite d'EulerSymédiane

Points remarquables

Centre de gravitéOrthocentrePoint de BrocardPoint de GeorgonnePoint de Lemoine

Cercles remarquables

Cercle inscritCercle circonscritCercles exinscritsCercle des neuf points

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