Coordonnées (algèbre)

Les coordonnées sont en mathématiques des nombres qui servent à repérer un point par rapport à un système de coordonnés. Par exemple, la latitude et la longitude sont des coordonnées avec pour système de coordonné la Terre.

Il existe deux types de coordonnées qui sont les plus utilisés : les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires.

Avec les coordonnées cartésiennes, on localise le point P par les distances x,y et z

Il existe d'autre type de coordonnées dont les coordonnées cylindrique et sphérique qui sont simplement une extension des coordonnées polaires.

Coordonnées cartésiennes

Article à lire : Coordonnées cartésiennes.

Les coordonnées cartésiennes sont les plus couramment utilisées. Il est constitué de deux droites perpendiculaires en un point O que l’on appelle l’origine. Ces deux axes sont généralement appelés l’axe des x et l’axe des y. Prenons un point situé en (2 ;3), cela signifie qu’il est situé à 2 unités sur l’axe des x et a 3 unités sur l’axe des y.

Dans un espace en trois dimensions, on rajoute un axe perpendiculaire aux deux autres en O, que l’on appelle l’axe des z.

L’axe des x s’appelle l’abscisse du point, l’axe des y s’appelle l’ordonnée de ce point et l’axe des z s’appelle la côte de ce point.

Coordonnées polaires

En coordonnées polaires, les coordonnées du point M sont définies par la distance r et l'angle θ

Les coordonnées polaires sont avec les coordonnées cartésiennes, le système de coordonnées le plus utilisé.

Avec les coordonnées polaires, tout point est défini par deux coordonnées (r ; θ) qui sont définies par rapport à une droite appelée l’axe et un point de l’axe que l’on appelle le pôle, d’où le nom de coordonnées polaires.

La coordonnées r est la distance du point par rapport au pôle, la coordonnée θ est l’angle que forme l’axe avec la droite passant par le pôle.

Schéma montrant comment transformer des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes et vice versa

Par exemple un point avec les coordonnées polaires (1 ; π/2) signifie que le point est situé à une unité du pôle sur une demi droite qui fait un angle de π/2 (soit 90°) avec l’axe.

Les coordonnées polaires interviennent notamment dans l’équation des courbes, où il est question de distance à un point. Par exemple l’équation cartésienne d’un cercle de rayon R avec pour centre l’origine de ce repère s’écrit $x^{2}+y^{2}=R^{2}$, mais s’écrit en coordonnées polaires : r = R

Transformation de coordonnées

En règle général, on peut passer facilement d’un système de coordonnées à l’autre. Par exemple si l’axe correspond à l’abscisse et le pôle à l’origine O, alors un point avec les coordonnées polaires (1 ; π/2) sera situé une unité au dessus de l’origine O, il aura donc les coordonnées cartésienne suivante (0;1).

De la même façon on peut passer des coordonnées cartésiennes aux cordonnées polaires, par exemple les coordonnées cartésiennes suivantes (-1 ; 1) corresponde aux coordonnées polaires suivante (  ; 3/4) .

Plus généralement, on passe des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes par la relation $x=r\cos(\theta )$ et $y=r\sin(\theta )$.

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