Vecteur

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Un vecteur ou plus précisément un vecteur Euclidien est un segment orienté, symbolisé par une flèche. Il permet de représenter le déplacement d'un point A à un point B, c'est ce déplacement que l'on appelle vecteur.

En physique, un vecteur sert surtout à représenter une force, cette dernière a une direction et une dimension, on peut donc la voir comme un vecteur.

Déplacement d'un point vers un autre[modifier | modifier le wikicode]

Quels est le lien entre ses points?

Pour aller de A à B, on part de A et on se déplace vers le point B d'une certaine distance (par exemple 6 cm), même chose pour aller de C vers D, de E vers F et de G vers H. Le déplacement de A vers B se note , celui de C vers D , celui de E vers F et celui de G vers H .

, , et sont ce que l'on appelle des vecteurs.

Pour ces quatre vecteurs on s'est déplacé dans la même direction et sur la même distance, la seule chose différente c'est le point de départ. On en déduit donc que ces quatre vecteurs sont égaux: .

Le vecteur u est égal aux autres vecteurs

Pour simplifier les formules, on va désigner ces quatre vecteurs égaux par une seule lettre (par exemple ), contrairement aux autres vecteurs, celui-ci ne commence ni ne se termine à un point précis, il représente juste la distance entre A et B, C et D, E et F, G et H.

On peut donc définir le vecteur par trois paramètres: sa direction, ici les vecteurs ont la direction sud-ouest nord-ouest, un sens (A vers B...) et une norme ou longueur notée entre , ici la norme de est . A est appelé l'origine du vecteur et B est son extrémité.

Egalité de vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Les conditions pour que deux vecteurs soient égaux sont qu'ils aient la même norme, la même direction et le même sens.

Cas du parallélogramme[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un parallélogramme ABCD (un parallélogramme a ses côtés parallèles deux à deux). On peut donc écrire quatre égalités: , en effet, vu que ces deux droites sont parallèles, elles ont donc la même direction, elles ont également le même sens, en effet : aller de A à B, c'est comme aller de D à C ; ils ont également la même norme car AB = DC, on peut aussi écrire ; pour les mêmes raisons, il y a également ; et pour finir . Attention et sont différents : en effet, ils n'ont pas le même sens (l'un va de A a B, l'autre de B vers A). Cependant = peuvent être égaux uniquement dans ce cas de figure.

Multiplication de vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Une multiplication de vecteur

On peut multiplier un vecteur par un nombre réel, ce dernier est appeler un scalaire. Prenons un vecteur et un réel non nul quelconque que nous appelons r. Il y a deux cas soit r est positif soit r est négatif.

Imaginons que r= 4 et que le vecteur . Le vecteur a le même sens, la même direction que , mais une norme multipliée par 4.

Donc multiplier un vecteur par un nombre réel positif revient à multiplier sa norme par ce réel.

Maintenant imaginons que r= -4 et que le vecteur . Le vecteur a la même direction que car ces deux vecteurs sont parallèles, il ont des sens opposés et la norme de est multipliée par 4 (valeur absolue de -4).

Donc multiplier un vecteur par un nombre réel négatif revient à multiplier la norme de vecteur par ce réel, mais si le réel est négatif le sens du vecteur change.

Pour résumer:

  • Multiplier un vecteur par un réel donne un vecteur
  • Le vecteur obtenu a la même direction, le même sens si le réel est positif ou alors des sens opposés s'il est négatif.
  • Multiplier un vecteur par un nombre réel revient à multiplier sa norme par ce réel.

Additions de vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Relation de Chasles[modifier | modifier le wikicode]

Prenons trois vecteurs non nuls , et dont la relation est

Pour additionner deux vecteurs, on va réaliser une translation de vecteur (déplacer le vecteur). Pour déplacer ce vecteur, il faut que le vecteur déplacé ait la même direction, le même sens et la même norme. Nous allons déplacer le vecteur et le vecteur déplacé va s’appeller . On va en quelque sorte les mettre l'un derrière l'autre.

Le vecteur est égal à la distance entre le début de et la fin de .

La relation de Chasles dit qu'un vecteur peut être calculé en introduisant un point C. On a donc: .

Cas du milieux[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un segment [AB] ayant pour milieu C. On peut donc dire 3 choses:

  • . On en déduit donc que C est le milieu de [AB]
  • Car la somme de deux vecteur opposés est égale a qui se lit "vecteur nul"
  • On peut également dire que

Un vecteur nul est un vecteur qui revient à partir d'un point vers ce même point par exemple , car le sens de ce vecteur est de A vers A. Additionner un vecteur avec le vecteur nul revient à ne rien faire.

Deux vecteurs sont dit opposés lorsque leurs sens sont opposés : par exemple et sont des vecteur opposés. La somme de deux vecteur opposés est égale au vecteur nul, cela marche de la même façon que les nombres, par exemple .

Règle du parallélogramme[modifier | modifier le wikicode]

Additions de vecteur simple et une autre montrant la règle du parallélogramme

Prenons un quadrilatère ABCD. Si , alors ce quadrilatère est rectangle.

Règle de calcul[modifier | modifier le wikicode]

On peut également appliquer la distributivité aux vecteurs (rappel: k(a+b) = ka +kb). La règle est la même que pour les nombres sauf qu'à la place de a et de b on prend des vecteurs, ce qui donne: On applique donc la distributivité on a alors: .

On peut aussi multiplier la somme de deux réels par un vecteur: . On applique donc la distributivité :

La dernière possibilité est de multiplier deux réels par un vecteur:. On utilise donc l'associativité ce qui donne :

Maintenant si alors soit soit , sachant que les deux peuvent être nuls.

Colinéarité de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

La définition exacte de la colinéarité entre deux vecteurs est: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que . Le vecteur nul est, quant à lui, colinéaire à tous les vecteurs.

En pratique, deux vecteurs sont colinéaires si ils ont la même direction.

Par exemple si donc avec k=-3. Donc . et sont colinéaires puisqu'il existe un réel qui, multiplié, par le deuxième vecteur donne le premier vecteur.

Un autre exemple A, B et C sont alignés, si et seulement si, et sont colinéaires. Ces deux vecteurs ont un point commun qui est A. Pour montrer que et sont colinéaires, il faut trouver le réel k tel que .

Imaginons un problème où l'on donne , on en déduit donc que et sont colinéaires. Donc on peut en déduire que A, B, C sont alignés.

La colinéarité permet également de montrer que deux droites sont parallèles. En effet (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires. Imaginons que donc et sont colinéaires. Donc (AB) et (CD) sont parallèles.

Donc si deux vecteurs colinéaires ont un point commun, ils sont alignés et s'il n'ont pas de point commun, ils sont parallèles

Pour pratiquer[modifier | modifier le wikicode]

www.labosim.net


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