Parallélogramme

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Un parallélogramme [math]ABCD[/math]. Les diagonales sont en rouge. Elles se coupent en leur milieu.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux et ont la même longueur.

Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Corollaires[modifier | modifier le wikicode]

  • Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses angles opposés sont égaux.
  • Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si c’est un trapèze dont les deux côtés parallèles sont de même longueur.
  • Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
  • Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si deux angles consécutifs sont supplémentaires. (Supplémentaire : Somme égale à 180°)

Mesures caractéristiques[modifier | modifier le wikicode]

Périmètre[modifier | modifier le wikicode]

Le périmètre d’un parallélogramme de largeur [math]AB[/math] et de longueur [math]AD[/math] est donné par : [math](AB + AD) \times 2[/math].

Aire[modifier | modifier le wikicode]

Un parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est obtenue par [math]B \times H[/math], où :

  • [math]B[/math] est la base du parallélogramme ;
  • [math]H[/math] est la hauteur du parallélogramme.

Il y a une autre manière de calculer l’aire d’un parallélogramme, avec le sinus. En effet, suivant une diagonale, on peut découper le parallélogramme en deux triangles identiques. Imaginons qu’on a un parallélogramme [math]ABCD[/math] et qu’on le découpe suivant la diagonale [math][BD][/math]. On obtient deux triangles [math]ABD[/math] et [math]BCD[/math] quelconques. Pour calculer l’aire du parallélogramme, on calcule donc la somme de leurs aires.

[math]A_{ABCD} = A_{ABD} + A_{BCD} = 2 \times A_{ABD}[/math] (car les deux triangles ont la même aire)
[math]A_{ABCD} = 2 \times (\frac{1}{2} \times AB \times AD \times sin \widehat{BCD})[/math] (car l’aire de tout triangle [math]EFG[/math] est [math]\frac{1}{2} \times EF \times EG \ sin \widehat{E}[/math])
[math]A_{ABCD} = AB \times AD \times sin \widehat{BCD}[/math]

Parallélogrammes particuliers[modifier | modifier le wikicode]

  • Un quadrilatère est un losange, si et seulement si, c’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux.
  • Un quadrilatère est un rectangle, si et seulement si, c’est un parallélogramme avec un angle droit.
  • Un quadrilatère est un carré, si et seulement si, c’est, à la fois, un rectangle et un losange.


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