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Identité remarquable

« Identité remarquable » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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En mathématiques, une identité remarquable est une égalité vérifiée par tous les nombres et qui permet d'accélérer les calculs. Certaines servent à développer des multiplications, des sommes ou à simplifier des expressions.

Pour les utiliser efficacement, il est nécessaire de les connaître par cœur, ou du moins de les retenir sous forme de règles.

Donnons les plus importantes (sachant que Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 2ab est un raccourci pour Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 2\times a\times b ) :

  1. Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2}\quad =\quad a^{2}+2ab+b^{2}
  2. Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)^{2}\quad =\quad a^{2}-2ab+b^{2}
  3. Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)(a+b)\quad =\quad a^{2}-b^{2}

Les deux premières identités remarquables, Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a\pm b)^{2}=\ldots , sont en fait un cas particulier de la formule du binôme de Newton. On peut appliquer celle-ci pour calculer des variantes comme : Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} .

Le savais-tu.png
Le savais-tu ?
Démonstration géométrique !
Certaines identités peuvent se démontrer facilement par des constructions géométriques relativement simples. En voici un exemple avec Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2}  :

Soit un carré de côté de longueur Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a+b . On peut le diviser en un carré de côté de longueur Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a , en un autre carré de côté de longueur Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b et en deux rectangles de côtés de longueur Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a et Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b . Par conséquent, Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}  !

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Développement[modifier | modifier le wikicode]

Développer une expression mathématique, c'est la transformer d'un produit (multiplication) en sommes (additions). Par exemple, Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2}+2ab+b^{2} est la version « développée » de Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2}  : on a transformé toutes les multiplications qu'on pouvait (ici, juste Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)\times (a+b) ). Il y a toujours des multiplications (comme entre 2, Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a et Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b ) mais on ne peut pas les développer davantage sans connaître Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a ou Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b , et l'opération principale (celle qu'on fait en dernier) est une somme (entre Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2} , Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b^{2} et Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 2ab ).

  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (x+3)^{2}=?
    On reconnaît Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (x+3)^{2}\quad =\quad x^{2}\ +\ 2\times x\times 3\ +\ 3^{2}\quad =\quad x^{2}+6x+9
  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (7-w)^{2}=?
    On reconnaît Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (7-w)^{2}\quad =\quad 7^{2}\ -\ 2\times 7\times w\ +\ w^{2}\quad =\quad 49-14w+w^{2}
  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (2-x)(2+x)=?
    On reconnaît Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (2-x)(2+x)\quad =\quad 2^{2}-x^{2}\quad =\quad 4-x^{2}
  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (4+y)^{3}=?
    On reconnaît Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (4+y)^{3}\quad =\quad (y+4)^{3}\quad =\quad y^{3}\ +\ 3\times y^{2}\times 4\ +\ 3\times y\times 4^{2}\ +\ 4^{3}\quad =\quad y^{3}+12y^{2}+48y+64

Factorisation[modifier | modifier le wikicode]

La factorisation est l'opération inverse du développement : c'est trouver un élément commun dans tous les termes d'une somme (additions) et s'en servir pour transformer cette somme en produit (multiplication). Par exemple, on factorise la somme Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2}-b^{2} en le produit Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)\times (a+b) . Il y a toujours des additions, mais l'opération principale (la dernière à effectuer) est une multiplication.

  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): n^{2}+6n+9=?
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): n^{2}+6n+9\quad =\quad n^{2}\ +\ 2\times {\mathbf {3}}\times n\ +\ {\mathbf {3}}\times {\mathbf {3}}
    c'est-à-dire Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2}+2ab+b^{2} avec Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a=n et Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b=3 .
    Or Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2}+2ab+b^{2} est la forme développée de Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a+b)^{2} , donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): n^{2}+6n+9\quad =\quad (n+{\mathbf {3}})^{2}
  • Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 4x^{2}-4x-3=?
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 4x^{2}-4x-3\quad =\quad ({\mathbf {2x}})^{2}\ -\ 2\times {\mathbf {2x}}\times 1\ -\ 3
    On a envie de reconnaître Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)^{2} , avec Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a=2x et Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b=1 , mais ça ne marche pas : Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): b^{2}=1^{2}=1\neq -3  !
    Forçons un peu les choses en faisant apparaître un Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 1 à partir du Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): -3 . C'est facile : Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 1-4=-3 donc :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x)^{2}\ -\ 2\times 2x\times {\mathbf {1}}\ +\ {\mathbf {1}}\ -\ 4
    On peut maintenant factoriser notre Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): a^{2}-2ab+b^{2} en Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)^{2}  :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x-1)^{2}\ -\ 4
    Peut-on faire quelque chose de ce Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): -4 restant, ou faut-il le laisser là ? Il serait bien de pouvoir continuer à factoriser. On peut remarquer que Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): -4=-2^{2} et utiliser une autre identité remarquable, Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}  :
    Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): (2x-1)^{2}\ -\ {\mathbf {2}}^{2}\quad =\quad (2x-1-{\mathbf {2}})(2x-1+{\mathbf {2}})
    Donc : Échec d'analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité): Réponse invalide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://api.formulasearchengine.com/v1/ » :): 4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x-3)(2x+1) , ce qui est une forme factorisée.

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

  • (en), Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, Diophantine analysis — Les deux identités remarquables, ainsi que leurs usages en arithmétique sont présents dans cette référence, beaucoup plus technique que la précédente.


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