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Hypothèse de Riemann
Dans les mathématiques l'Hypothèse de Riemann est une conjecture qui a été formulée en 1859 par le mathématicien allemand, Bernhard Riemann. D'après cette conjecture, les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration est importante car elle permettrait par exemple d'améliorer la connaissance de la répartition des nombres premiers.
Fonction zêta de Riemann et nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]
Fonction R(N)[modifier | modifier le wikicode]
Gauss avait tenté d'estimer combien de nombres premiers se trouvaient compris entre 1 et N. Riemann découvrit une nouvelle fonction : R(N), beaucoup plus précise que celle de Gauss, même si elle continuait de produire des erreurs. Riemann comprit qu'en utilisant l'emplacement, sur la carte imaginaire de la fonction ζ de Riemann, des zéros de cette fonction il pourrait corriger ses erreurs.
Euler, les nombres imaginaires et les fonctions exponentielles[modifier | modifier le wikicode]
Euler a découvert une chose étonnante : quand on entre un nombre imaginaire dans une fonction exponentielle, on obtient une onde sinusoïdale. La courbe a ascension rapide habituellement associée à la fonction exponentielle a été transformé par un graphe ondulant.
Zéros de la fonction zêta de Riemann et leurs ondes[modifier | modifier le wikicode]
Riemann voyait qu'il était possible d'aller au-delà de la découverte d'Euler en utilisant les zéros de la fonction zêta de Riemann. Le caractère de chaque onde est déterminer par l'emplacement du zéro à l'origine de l'onde.
Escalier des nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]
Les ondes des zéros de la fonction zêta de Riemann permettaient de faire correspondre la courbe lisse de Riemann R(N) à l'escalier des nombres premiers. Il faut ajouter les erreurs prédites par le ondes des zéros. Chaque nouvelle onde déforme un peu plus la courbe lisse.
Importance de l'Hypothèse de Riemann[modifier | modifier le wikicode]
La démonstration de l'hypothèse de Riemann est primordiale dans les mathématiques pour prouver un grand nombre de conjectures. La communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-elle cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. La démonstration de l'Hypothèse de Riemann permettrait d'affirmer ou d'infirmer ces conjectures.
Difficulté du problème[modifier | modifier le wikicode]
L'Hypothèse de Riemann est souvent considérée comme le problème le plus difficile des mathématiques. Elle figure en huitième position dans la liste des 23 problèmes de David Hilbert, elle est aussi présente dans la liste des 7 problèmes du prix du millénaire, qui sont réputés insurmontables.
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