Nombre premier

En mathématiques, un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Différentes définitions équivalentes sont données ci-dessous. Les nombres premiers inférieurs à 20 sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19,

mais la liste est sans fin. Les nombres premiers sont en quantité infinie.

Définition

Le produit de deux nombres A et B, c’est le résultat de la multiplication A × B.

Un nombre premier est un entier naturel qu'on ne peut pas écrire comme le produit de deux autres entiers naturels plus petits. Par exemple, 23 est un nombre premier, mais 21 n'est pas un nombre premier car on peut l’écrire comme le produit de 7 par 3 (3 × 7 = 21), qui sont strictement inférieurs à 21.

Un nombre premier, c'est aussi un entier naturel qui admet 1 et lui-même comme seuls diviseurs. Les deux définitions sont équivalentes.

Exemples :

• historiquement, le nombre 1 a été longtemps considéré comme un entier naturel premier, mais il ne l'est plus au sens strict car il n'admet qu'un seul diviseur (1) ;
• 2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 (2 ÷ 1 = 2) et par lui-même (2 ÷ 2 = 1) ;
• 4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4 ;
• 123 n'est pas un nombre premier, car il est divisible par 3. La division de 123 par 3 donne un quotient de 41, sans reste. En revanche, le nombre 41 est premier.

Histoire

Les nombres premiers étaient connus depuis l'Antiquité, et probablement avant. Parmi les textes mathématiques de la Grèce antique qui ont survécu, les Éléments d'Euclide fournissent la première étude connue des nombres premiers dans la civilisation grecque. Dans ce traité, Euclide démontre les résultats suivants :

• tout entier admet au moins un diviseur premier ;
• les nombres premiers sont en quantité infinie.

Terence Tao en 2006

Mais la recherche sur les nombres premiers a réellement avancé à partir du XVII^e siècle. Il fallait attendre le développement de l'analyse pour en obtenir d'importantes applications (« théorie analytique des nombres »). L'une des plus importantes date du XIX^e siècle : l'estimation du nombre de nombres premiers inférieurs à un entier suffisamment grand. Par « estimation », il ne faut pas comprendre un calcul exact (impossible pour l'heure) mais une étude de son comportement : on peut ainsi dire que, pour un nombre N très grand, le N-ième nombre premier sera à peu près aussi « grand » que N × ln N.

En parallèle, l'algèbre se développe au XIX^e siècle en Europe et ses applications à l'étude des nombres donnent lieu à la « théorie algébrique des nombres ».

Malgré une recherche constante, les nombres premiers n'ont pas livré tous leurs secrets. Une suite arithmétique est une suite finie de nombres dont les différences successives sont égales. Par exemple, 3, 13 et 23 forment une suite arithmétique de nombres premiers. En 2004, Terence Tao démontra qu'il existe une infinité de suites arithmétiques dans la suite des nombres premiers. Il reçut la médaille Fields.

Propriétés

Les trois propriétés suivantes expliquent pourquoi les nombres premiers sont importants en arithmétique :

• tout entier naturel sauf 1 est divisible par au moins un nombre premier ;
• il existe une infinité de nombres premiers ;
• il existe une seule manière de décomposer un nombre composé en un produit de nombres premiers. Cette opération est la décomposition en produit de facteurs premiers.

D’autres propriétés peuvent être intéressantes :

• tout nombre premier est impair, sauf 2 ;
• plus les nombres premiers sont grands, plus ils sont « rares » : c’est le théorème de raréfaction des nombres premiers ;
• Dans la suite 1, (1 + 4 = 5), (5 + 4 = 9), (9 + 4 = 13), (13 + 4 = 17), (17 + 4 = 21), … , il existe une infinité de nombres premiers. En moyenne, un nombre premier sur deux apparait dans cette suite. Plus généralement, dans toute suite arithmétique partant de 1, il existe une infinité de nombres premiers, et on peut dire combien de nombres premiers apparaissent en moyenne dans cette suite. C'est le théorème de progression arithmétique de Dirichlet.

Démonstrations

Chaque propriété énoncée ci-dessus a été démontrée.

Le nombre 2 est le seul nombre premier pair

• Si un nombre est pair, il peut être divisé par 2 ;
• donc un nombre pair n'est pas un nombre premier (sauf 2 puisque, dans ce cas, il est divisé par lui-même).

Il existe une infinité de nombres premiers

Prenons un nombre, par exemple 23.

On liste tous les nombres premiers inférieurs à vingt-trois : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, et 23. Le produit de tous ces nombres est 223 092 870. (On obtient vite de grands nombres !) Le nombre obtenu est pair, comme on peut s'y attendre (puisque 2 est un facteur du produit). Il n'est donc pas premier.

Ajoutons 1 et regardons : 223 092 870 + 1 = 223 092 871. Soit ce nombre est premier (ce n’est pas le cas), soit il existe un nombre premier (que l’on note P) qui le divise. Imaginons que ce nombre premier P soit inférieur à 23 (le nombre dont on était parti) :

1. P serait donc l’un des nombres premiers 2, 3, 5, … , 19, 23 qui divisent 223 092 870, puisque 223 092 870 est le produit de tous les nombres premiers inférieurs à 23.
2. Donc, en nommant Q le produit de tous les nombres premiers inférieurs à 23 sauf P (c’est-à-dire Q = 223 092 870 ÷ P), on peut écrire 223092871 = P × Q + 1 et, comme P divise 223 092 871, P doit donc aussi diviser P × Q + 1 ; c’est-à-dire que P doit diviser P × Q et 1.
3. P divise bien P × Q mais, dans l’ensemble des nombres entiers naturels, aucun nombre premier ne peut diviser 1… c’est donc impossible !
4. Cela signifie que notre hypothèse de départ, « P est inférieur à 23 », est fausse ! Donc P est strictement plus grand que 23.

Par conséquent, il existe un nombre premier plus grand que 23 (dans notre exemple, il en existe même deux car 223 092 871 = 317 × 703 763, qui sont tous les deux premiers et plus grands que 23).

Et cette démonstration peut se répéter pour n’importe quel nombre : on peut toujours trouver un nombre premier plus grand que les autres, donc l’ensemble des nombres premiers est infini !

Propriétés non démontrées des nombres premiers

Il existe des propriétés des nombres premiers qui n'ont pas été démontrées. Ce sont des conjectures. Par exemple, la conjecture de Goldbach :

Tout nombre pair (sauf 2) est la somme de deux nombres premiers.

Par exemple : 12 = 5 + 7 ; 14 = 7 + 7 ; 16 = 5 + 11.

La plupart des mathématiciens pensent que cette conjecture est vraie, mais personne n'est jamais parvenu à la démontrer. Il suffirait de trouver un seul contre-exemple pour prouver qu'elle est fausse.

		Le savais-tu ?
	Des nombres premiers jumeaux, cousins et même sexy !
Les mathématiciens se sont amusés à donner des noms originaux à des nombres premiers spécifiques. Ils ont donné, par exemple, le nom de nombres jumeaux à deux nombres premiers dont la différence ne fait que deux. Parmi ces nombres premiers jumeaux, on trouve 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 107 et 109 ou encore 881 et 883. Il existe également les nombres cousins qui sont, eux, deux nombres premiers dont la différence fait quatre (comme 3 et 7, ou 19 et 23). Et pour deux nombres premiers pour lesquels la différence fait six, les mathématiciens ont trouvé le curieux nom de nombres sexy ! 5 et 11, 7 et 13 ou 11 et 17 en font donc partie ! Cet adjectif est en fait un jeu de mots avec le mot latin qui signifie six.

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