Parallélogramme

Un parallélogramme $ABCD$. Les diagonales sont en rouge. Elles se coupent en leur milieu.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux et ont la même longueur.

Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Corollaires

• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses angles opposés sont égaux.
• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si c’est un trapèze dont les deux côtés parallèles sont de même longueur.
• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si chaque couple d'angles consécutifs est supplémentaire. (Supplémentaire : Somme égale à 180°)

Mesures caractéristiques

Périmètre

Le périmètre d’un parallélogramme de largeur $AB$ et de longueur $AD$ est donné par : $(AB+AD)\times 2$.

Aire

Un parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est obtenue par $B\times H$, où :

• $B$ est la base du parallélogramme ;
• $H$ est la hauteur du parallélogramme.

Il y a une autre manière de calculer l’aire d’un parallélogramme, avec le sinus. En effet, suivant une diagonale, on peut découper le parallélogramme en deux triangles identiques. Imaginons qu’on a un parallélogramme $ABCD$ et qu’on le découpe suivant la diagonale $[BD]$. On obtient deux triangles $ABD$ et $BCD$ quelconques. Pour calculer l’aire du parallélogramme, on calcule donc la somme de leurs aires.

$A_{ABCD}=A_{ABD}+A_{BCD}=2\times A_{ABD}$ (car les deux triangles ont la même aire)

$A_{ABCD}=2\times (\frac{1}{2}\times AB\times AD\times sin\widehat{BCD})$ (car l’aire de tout triangle $EFG$ est $\frac{1}{2}\times EF\times EGsin\hat{E}$)

$A_{ABCD}=AB\times AD\times sin\widehat{BCD}$

Parallélogrammes particuliers

• Un quadrilatère est un losange, si et seulement si, c’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux.
• Un quadrilatère est un rectangle, si et seulement si, c’est un parallélogramme avec un angle droit.
• Un quadrilatère est un carré, si et seulement si, c’est, à la fois, un rectangle et un losange.