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Théorèmes d'incomplétude de Gödel

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Kurt Gödel en 1925

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes de logique mathématique publiés en 1931 par Kurt Gödel.

Le premier théorème dit que soit il existe des proposition ni démontrables ni réfutables (c'est à dire que l'on ne peu pas prouver si elle sont vraies ou fausse) soit il existe deux proposition qui se contredisent (ce qui voudrait dire qu'il y a une erreur au fondement même des mathématiques!).

Le deuxième théorème dit qu'il est impossible de savoir dans le quel des deux cas on se trouve sauf si on trouve deux proposition qui se contredisent au quel cas on sait. Pour l'instant personne n'a trouvé en mathématiques deux proposition qui se contredisent.

Ils interviennent à une période nommée la « crise des fondements » où les mathématiciens cherchent à tout bien définir et se rendent alors compte qu'il existe de nombreuses choses mal définies, en particulier les nombres.

Portrait de Bertrand Russell
David Hilbert en 1912

Bertrand Russell formule vers 1901 son paradoxe de Russel qui peut se résumer par la phrase "Cette phrase est un mensonge", si c'est faux, c'est vrai ; et si c'est vrai, c'est faux. Dans sa formulation mathématique, le paradoxe de Russel prouve qu'il existe des contradictions dans une théorie. Il faut alors faire en sorte de ne plus avoir de contradiction au niveau des axiomes, ce qui oblige à en redéfinir certains. Il faut ensuite démontrer que l'on peut démontrer chaque propriété, ce qui était par ailleurs l'un des objectifs d'Hilbert.

En 1931, le théorème de Gödel détruit le rêve d'Hilbert qui cherche les mathématiques parfaites où l'on peut tout démontrer ou réfuter. Il dit même une phrase restée célèbre, elle fut même gravée sur sa tombe: « Wir missen wissen, wir werden wissen » « Nous devons savoir, nous savons ». Gödel démontre qu'une théorie qui définit les nombres entiers ne sera jamais parfaite, il existera forcément au moins un énoncé vrai mais indémontrable.

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