Arc sinus

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Graphe de la fonction arcsin

La fonction Arc sinus est l'application réciproque de la restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]. C'est à dire qu'en appliquant la fonction sinus puis la fonction Arcsinus à un nombre de [-π/2, π/2], on revient à ce nombre. On la note arcsin, sin^-1 ou parfois asin.

Remarque :

• La fonction sinus n'est pas bijective car elle prend plusieurs fois les mêmes valeurs (elle est périodique). Par exemple, elle prend la valeur 0 pour tous les multiples de π (0, π, 2π, 3π, ... et -π, -2π, ...). On ne peut donc pas considérer sin^-1.
• Par contre, l'application f de [-π/2, π/2] vers [-1,1] qui, à un réel, fait correspondre son sinus (appelée restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]), est bijective. Chaque valeur prise par la fonction sinus entre -π/2 et π/2 est unique.

On peut donc considérer l'inverse de cette fonction, qui est Arcsinus.

Propriétés

$\mathrm{\forall }x$ se lit pour tout x et $\iff$ se lit si et seulement si (c'est une relation d'équivalence)

• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\sin (\arcsin (x))=x$
• $\mathrm{\forall }x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\arcsin (\sin (x))=x$
• $\mathrm{\forall }x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],y\in [-1,1],y=\sin (x)\iff x=\arcsin (y)$

• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\arccos (x)+\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}$

• Le graphe de la fonction Arcsinus est une symétrie axiale du graphe de la fonction sinus d'axe la droite d'équation $y=x$.

Valeurs remarquables

Tableau de valeurs de la fonction arcsin

$x$	$\arcsin (x)$
$0$	$0$
$\frac{1}{2}$	$\frac{\pi }{6}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\pi }{4}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\pi }{3}$
$1$	$\frac{\pi }{2}$

Dérivée et variations

La dérivée de la fonction arcsin est ${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Cette dérivée est de signe positif, car la fonction arcsin est croissante.