Arc sinus

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Graphe de la fonction arcsin

La fonction Arc sinus est l'application réciproque de la restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]. C'est à dire qu'en appliquant la fonction sinus puis la fonction Arcsinus à un nombre de [-π/2, π/2], on revient à ce nombre. On la note arcsin, sin^-1 ou parfois asin.

Remarque :

• La fonction sinus n'est pas bijective car elle prend plusieurs fois les mêmes valeurs (elle est périodique). Par exemple, elle prend la valeur 0 pour tous les multiples de π (0, π, 2π, 3π, ... et -π, -2π, ...). On ne peut donc pas considérer sin^-1.
• Par contre, l'application f de [-π/2, π/2] vers [-1,1] qui, à un réel, fait correspondre son sinus (appelée restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]), est bijective. Chaque valeur prise par la fonction sinus entre -π/2 et π/2 est unique.

On peut donc considérer l'inverse de cette fonction, qui est Arcsinus.

Propriétés

$\forall x$ se lit pour tout x et $\Leftrightarrow$ se lit si et seulement si (c'est une relation d'équivalence)

• $\forall x\in \left[-1,1\right],\sin(\arcsin(x))=x$
• $\forall x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\arcsin(\sin(x))=x$
• $\forall x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],y\in \left[-1,1\right],y=\sin(x)\Leftrightarrow x=\arcsin(y)$

• $\forall x\in [-1,1],\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}$

• Le graphe de la fonction Arcsinus est une symétrie axiale du graphe de la fonction sinus d'axe la droite d'équation $y=x$.

Valeurs remarquables

Tableau de valeurs de la fonction arcsin

$x$	$\arcsin(x)$
$0$	$0$
${\frac {1}{2}}$	${\frac {\pi }{6}}$
${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\pi }{4}}$
${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\pi }{3}}$
$1$	${\frac {\pi }{2}}$

Dérivée et variations

La dérivée de la fonction arcsin est $\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Cette dérivée est de signe positif, car la fonction arcsin est croissante.

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