Distributivité

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Définition

On dit d'une opération $\circ$ qu'elle est distributive sur l'opération $\ast$ si elles respectent cette égalité :

$A\ast (B\circ C)=(A\circ B)\ast (A\circ C)$

Pour voir si une opération est distributive sur une autre opération, il suffit de remplacer les $\ast$ et les $\circ$ de la définition par ces deux opérations et voir si l'égalité est respectée.

Exemples

L'opération $\times$ est distributive sur l'opération $+$ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des nombres réels car pour tout nombres réels $a$, $b$ et $c$ on a :

$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

On a ici remplacé les $\ast$ par des $\times$ et les $\circ$ par des $+$. Cette égalité est toujours respectée.
Par exemple :

${\begin{aligned}6\times (9+5)&=(6\times 9)+(6\times 5)\\6\times \;\;\;14\;\;\;\;&=\;\;\;54\;\;\;\;+\;\;\;\;30\\84\;\;\;&=\;\;\;84\end{aligned}}$

L'opération $+$ n'est pas distributive sur l'opération $\times$. En effet, l'égalité $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$ n'est pas respectée.

Preuve par contre-exemple : Si l'on prend $a=1$, $b=2$ et $c=3$, on a :

$a+(b\times c)=1+(2\times 3)=1+6=7$

.
On a aussi :

$(a+b)\times (a+c)=(1+2)\times (1+3)=3\times 4=12$

.

Le fait que $7\neq 12$ montre que l'égalité $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$ est fausse.

Dans la théorie des ensembles, la loi $\cap$ est distributive sur la loi $\cup$ car pour tout ensembles $A$, $B$ et $C$ on a :

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

La loi $\cup$ est également distributive sur la loi $\cap$ :

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

Notes et références

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