Formule du binôme

La Formule du binôme de Newton est une formule mathématique proposée par Isaac Newton qui consiste à décomposer (a + b)ⁿ lorsque n est un nombre entier naturel en une somme de n + 1 termes.

Il existe aussi un développement en série qui permet de calculer (1 + x)^p lorsque |x| < 1 et p qui n'est pas forcément un nombre entier et peut être un nombre négatif.

Formule du binôme de Newton

On va calculer les différentes puissances de (a + b)ⁿ à partir des décompositions de (a + b)^n-1 en utilisant la distributivité et le commutativité de la multiplication et en regroupant les termes où a et b sont élevés aux mêmes puissances.

• (a + b)⁰ = 1
• (a + b)¹ = a + b (pas la peine de calculer (a + b)(a + b)⁰ )
• (a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
• (a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

En continuant de la même manière, on obtiendrait

• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
• (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
• (a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶
• (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷

et ainsi de suite.

Comment calculer les coefficients à additionner ?

On peut le voir, pour calculer (a + b)ⁿ on peut ajouter des termes de la forme :

$C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ avec 0 ≤ k ≤ n

Pour les 2 premiers termes de la somme, c'est très facile :

(a + b)ⁿ = 1(aⁿ) + n(a^n-1b) + ...

Ce qui nous donne $C_n^0=1$ et $C_n^1=n$

Pour calculer les autres $C_n^k$ on pose une fraction dans laquelle :

• au numérateur on multiplie des entiers entre eux en partant de n et en enlevant 1
• au dénominateur on multiplie des entiers en partant de 1 et en ajoutant 1

Ainsi :

$C_n^2=\frac{n(n-1)}{1\times 2}$       $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{1\times 2\times 3}$       $C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\times 2\times 3\times 4}$

et ainsi de suite

Vérifions-le pour n = 5

$C_5^0=1$       $C_5^1=5$       $C_5^2=\frac{5\times 4}{1\times 2}=\frac{20}{2}=10$       $C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{1\times 2\times 3}=\frac{60}{6}=10$       $C_5^4=\frac{5\times 4\times 3\times 2}{1\times 2\times 3\times 4}=\frac{120}{24}=5$       $C_5^4=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}=\frac{120}{120}=1$

Utilisation du triangle de Pascal

Premières lignes du triangle de Pascal.

Une autre manière de calculer les coefficient $C_n^k$ est de construire les triangle de Pascal.

n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

Chaque nombre du triangle est obtenu en additionnant les 2 nombres du dessus les plus proches. S'il y a seulement un 1 d'un coté au dessus, on met un 1.

Cas particulier : a = 1

Si a = 1, le calcul à faire est (1 + b)ⁿ

Mais comme 1 élevé à une puissance positive reste égal à 1, les termes C_n^k 1^n-kb^k peuvent être simplifiés en C_n^k b^k

On peut donc écrire :

$(1+b{)}^n=1+\frac{n}{1}.b+\frac{n(n-1)}{1\times 2}.b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\times 2\times 3}.b^3+...+\frac{n(n-1)(n-2)...(n+1-k)}{1\times 2\times 3\times ...\times k}.b^k+...+b^n$

On va voir dans le chapitre suivant ce qu'on peut faire avec ce genre de calcul.

Développement en série de (1 + x)^p

Lorsque |x| < 1 on peut calculer (1 + x)^p sans qu'il soit nécessaire que p soit un nombre entier naturel. Il suffit d'utiliser la formule précédente.

(1 + x)p = 1 +

p 1

.x +

p(p-1) 1 × 2

.x2 +

p(p-1)(p-2) 1 × 2 × 3

.x3 + ... +

p(p-1)(p-2)...(p+1-k) 1 × 2 × 3 × ... × k

.xk + ...

Si |x| < 1 les termes en x^k deviennent de plus en plus petits au fur et à mesure que k augmente. Pour cette raison, si |x| < 1 on ajoutera des termes de plus en plus petits et la somme de tous ces termes s'approcera de plus en plus de la valeur de (1 + x)^p qu'on veut calculer.

Retour au cas particulier : p est un entier naturel

Examinons de nouveau ce qui se passe si p est un entier naturel en prolongeant les calculs.

$(1+x{)}^0$	$=1+\frac{0x}{1}+\frac{0\times -1x^2}{1\times 2}+\frac{0\times -1\times -2x^3}{1\times 2\times 3}+\cdots =1+\frac{0x}{1}+\frac{0x^2}{2}+\frac{0x^3}{6}+\cdots =1$
$(1+x{)}^1$	$=1+\frac{1x}{1}+\frac{1\times 0x^2}{1\times 2}+\frac{1\times 0\times -1x^3}{1\times 2\times 3}+\cdots =1+\frac{1x}{1}+\frac{0x^2}{2}+\frac{0x^3}{6}+\cdots =1+x$
$(1+x{)}^2$	$=1+\frac{2x}{1}+\frac{2\times 1x^2}{1\times 2}+\frac{2\times 1\times 0x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{2\times 1\times 0\times -1x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\cdots$ $=1+\frac{2x}{1}+\frac{2x^2}{2}+\frac{0x^3}{6}+\frac{0x^4}{24}+\cdots =1+2x+x^2$
$(1+x{)}^3$	$=1+\frac{3x}{1}+\frac{3\times 2x^2}{1\times 2}+\frac{3\times 2\times 1x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{3\times 2\times 1\times 0x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{3\times 2\times 1\times 0\times -1x^5}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots$ $=1+\frac{3x}{1}+\frac{6x^2}{2}+\frac{6x^3}{6}+\frac{0x^4}{24}+\frac{0x^5}{120}+\cdots =1+3x+3x^2+x^3$

On s'aperçoit qu'au bout d'un certain nombre de fractions, une multiplication par 0 apparaît au numérateur. À partir de là, tous les termes qu'on voudrait rajouter sont égaux à 0. C'est un cas particulier où on obtient la valeur exacte de (1 + x)^p après l'addition d'un nombre fini de termes. Et dans ce cas, le calcul fonctionne encore si |x| ≥ 1.

Par contre, lorsque p n'est pas un nombre entier ou si p < 0, on n'obtiendra jamais de multiplication par 0 et le calcul permettant d'obtenir des valeurs de plus en plus proches de (1 + x)^p pourra se poursuivre aussi longtemps qu'on voudra.

Autre cas particulier : Formule du binôme négatif

Si p est un entier < 0 en simplifiant les fractions de la formule, on obtient des développements en série très simples dans lesquels les termes en x^k sont multipliés par des nombres entiers.

Exemple avec p = -1

$(1+x{)}^{-}1=1+\frac{-1x}{1}+\frac{-1\times -2x^2}{1\times 2}+\frac{-1\times -2\times -3x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{-1\times -2\times -3\times -4x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{-1\times -2\times -3\times -4\times -5x^5}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots$ $=1+\frac{-1x}{1}+\frac{2x^2}{2}+\frac{-6x^3}{6}+\frac{24x^4}{24}+\frac{-120x^5}{120}+\cdots =1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots$

On obtient donc : $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots$

Le calcul avec x < 0 permet d'obtenir une autre formule simple : $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots$

Exemple avec p = -2

La formule n'est pas beaucoup plus compliquée.

$(1+x{)}^{-}2=1+\frac{-2x}{1}+\frac{-2\times -3x^2}{1\times 2}+\frac{-2\times -3\times -4x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{-2\times -3\times -4\times -5x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{-2\times -3\times -4\times -5\times -6x^5}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots$$=1+\frac{-2x}{1}+\frac{6x^2}{2}+\frac{-24x^3}{6}+\frac{120x^4}{24}+\frac{-720x^5}{120}+\cdots =1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+\cdots$

On obtient donc : $(\frac{1}{1+x}{)}^2=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+\cdots$

Cas général : Exemple avec la puissance non entière p = 0,5 = 1/2

Si p n'est pas un nombre entier, le calcul de (1 + x)^p nécessite d'utiliser beaucoup de nombres décimaux ou éventuellement des fractions.

$(1+x{)}^{0,5}=1+\frac{0,5\times x}{1}+\frac{0,5\times -0,5\times x^2}{1\times 2}+\frac{0,5\times -0,5\times -1,5\times x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{0,5\times -0,5\times -1,5\times -2,5\times x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{0,5\times -0,5\times -1,5\times -2,5\times -3,5\times x^5}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots$

Si on préfère écrire les nombres sous forme de fractions :

$(1+x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\frac{1}{2}\times x}{1}+\frac{\frac{1}{2}\times -\frac{1}{2}\times x^2}{1\times 2}+\frac{\frac{1}{2}\times -\frac{1}{2}\times -\frac{3}{2}\times x^3}{1\times 2\times 3}+\frac{\frac{1}{2}\times -\frac{1}{2}\times -\frac{3}{2}\times -\frac{5}{2}\times x^4}{1\times 2\times 3\times 4}+\frac{\frac{1}{2}\times -\frac{1}{2}\times -\frac{3}{2}\times -\frac{5}{2}\times -\frac{7}{2}\times x^5}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}+\cdots$

En regroupant les dénominateurs :

$(1+x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{1\times -1}{2^2\times 1\times 2}{x}^2+\frac{1\times -1\times -3}{2^3\times 1\times 2\times 3}{x}^3+\frac{1\times -1\times -3\times -5}{2^4\times 1\times 2\times 3\times 4}{x}^4+\frac{1\times -1\times -3\times -5\times -7}{2^5\times 1\times 2\times 3\times 4\times 5}{x}^5+\cdots$

On simplifie les fractions et on continue avec quelques termes qui suivent :

$(1+x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\frac{7}{226}{x}^5-\frac{21}{1024}{x}^6+\frac{33}{2048}{x}^7-\frac{429}{32768}{x}^8+\cdots$

Le développement en série se poursuit avec une infinité de termes.

En calculant (1 + x)^0,5 on a calculé une racine carrée. Il y a une méthode plus simple pour le faire mais ce développement en série fonctionne pour toutes les puissances.

Formule du binôme généralisée

Comme on sait calculer (1 + x)^p avec p qui est une puissance non entière, on peut se demander si on peut aussi calculer (a + b)^p avec p qui est une puissance non entière.

On va supposer que |b| < |a|. On peut toujours mettre le plus grand des deux nombres en valeur absolue du côté gauche de l'addition.

Une première méthode pour faire le calcul est de dire que :

$(a+b{)}^p=a^p(1+\frac{b}{a}{)}^p$

Sinon, on peut repartir de la formule du binôme de Newton :

$(a+b{)}^p=a^p+\frac{p}{1}{a}^{p-1}b+\frac{p(p-1)}{1\times 2}{a}^{p-2}{b}^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{1\times 2\times 3}{a}^{p-3}{b}^3+\cdots +\frac{p(p-1)(p-2)\cdots (p+1-k)}{1\times 2\times 3\times \cdots \times k}{a}^{p-k}{b}^k+\cdots$

Mais dans les 2 cas, il faut savoir élever le nombre a à une puissance non entière alors que pour le calcul de (1 + x)^p on n'avait pas cette difficulté.

Voir aussi

• Développement en série