Arc cosinus

Graphe des fonctions arcos, cos et x

La fonction Arc cosinus, est l'application réciproque de la restriction de la fonction cosinus à [0, π] et [-1,1].

Remarque:

La fonction cosinus, n'est pas bijective puisqu'elle ne prend pas la valeur 2 puisque la fonction $cos$ est à valeurs dans $[-1,1]$. On ne peut donc pas considérer $co{s}^{-1}$.

Par contre l'application f de [0, π] vers [-1,1] qui à un réel fait correspondre son cosinus est bijective.

Propriétés

$\mathrm{\forall }x$ se lit pour tout x et $\iff$ se lit si et seulement si (c'est une relation d'équivalence)

• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],cos(Arccos(x))=x$
• $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ],Arccos(cos(x))=x$
• $\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ],\mathrm{\forall }y\in [-1,1],y=cos(x)\iff x=Arccos(y)$
• $\mathrm{\forall }x\in [-1,1],arccos(x)+arcsin(x)=\frac{\pi }{2}$

Valeurs particulières

Graphe de la fonction arcos

Tableau de valeurs de la fonction arccos

$x$	$arccos(x)$
$0$	$\frac{\pi }{2}$
$\frac{1}{2}$	$\frac{\pi }{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\pi }{4}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\pi }{6}$
$1$	$0$

Dérivée et variations

La dérivée de la fonction arccos est ${\arccos }^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$. Cette dérivée est de signe négatif, alors la fonction arccos est décroissante.