Parallélogramme

Un parallélogramme ABCD. Les diagonales sont en rouge. Elles se coupent en leur milieu.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux et ont la même longueur.

Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Corollaires

• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses angles opposés sont égaux.
• Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si c’est un trapèze dont les deux côtés parallèles sont de même longueur.
• Un quadrilatère est un parallèlogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
• Un quadrilatère est un parallèlogramme si et seulement si deux angles consécutifs sont supplémentaires. (Supplémentaire : Somme égale à 180°)

Mesures caractéristiques

Périmètre

Le périmètre d’un parallélogramme de largeur AB et de longueur AB est donné par : $(AB + AD) \times 2$.

Aire

L’aire d’un parallélogramme est obtenue par $B \times H$, où :

• B est la base du parallélogramme ;
• H est la hauteur du parallélogramme.

Il y a une autre manière de calculer l’aire d’un parallélogramme, avec le sinus. En effet, suivant une diagonale, on peut découper le parallélogramme en deux triangles identiques. Imaginons qu’on a un parallélogramme ABCD et qu’on le découpe suivant la diagonale [BD]. On obtient deux triangles ABD et BCD quelconques. Pour calculer l’aire du parallélogramme, on calcule donc la somme de leurs aires.

$A_{ABCD} = A_{ABD} + A_{BCD} = 2 \times A_{ABD}$ (car les deux triangles ont la même aire)

$A_{ABCD} = 2 \times (\frac{1}{2} \times AB \times AD \times sin \widehat{BCD})$ (car l’aire de tout triangle EFG est $\frac{1}{2} \times EF \times EG \ sin \widehat{E}$)

$A_{ABCD} = AB \times AD \times sin \widehat{BCD}$

Parallélogrammes particuliers

• Un quadrilatère est un losange si et seulement si c’est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont égaux.
• Un quadrilatère est un rectangle si et seulement si c’est un parallélogramme avec un angle droit.
• Un quadrilatère est un carré si et seulement si c’est un rectangle et un losange.

Portail des mathématiques - Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.